Anwendung Differentialrechnung

04.11.2009, 19:05

FlipEich

Anwendung Differentialrechnung

Guten Abend smile

Und zwar haben wir als Prüfungsvorbereitung ein Blatt mit Aufgaben bekommen.

Nun komme ich bei folgenden nicht weiter:

Gegeben: k(x)=-320/3*x^3+16*x^2+48/5*x+13/5

Aufgaben:
1.Höhepunkt berechnen
2. Wendestelle & Steigung der Wendestelle

Die Ableitungen sind:
f' =-320*x^2+32*x+9,6
f'' = -640x+32
f''' =-640

Bei Aufgabe 1 komme ich nicht dazu eine Nullstelle zu bilden, ich finde einfach keinen x-Wert der die Gleichung in irgendeiner Sicht auflöst, auch das Ausklammern fällt mir bei dieser Zahlenvielfalt schwer.

Bei Aufgabe 2 komme ich auf eine Wendestelle von 0,05/3.11, was der Zeichnung auch entspricht.
Nur bei der anschließenden Rechnung der Steigung und Aufstellung der Gleichung bin ich ratlos.

Ich würde mich um jegliche Anregungen, Tipps und Hilfen freuen.

Liebe Grüße

Phil

04.11.2009, 19:17

Q-fLaDeN

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RE: Anwendung Differenzialrechnung
Hallo,
also deine Ableitungen stimmen schonmal.

Zitat:

Original von FlipEich
Bei Aufgabe 1 komme ich nicht dazu eine Nullstelle zu bilden, ich finde einfach keinen x-Wert der die Gleichung in irgendeiner Sicht auflöst, auch das Ausklammern fällt mir bei dieser Zahlenvielfalt schwer.

Schonmal was von der Lösungsformel für quadratische Gleichungen gehört? Augenzwinkern

Zitat:

Original von FlipEich
Bei Aufgabe 2 komme ich auf eine Wendestelle von 0,05/3.11, was der Zeichnung auch entspricht.

Stimmt nur fast. $\begin{eqnarray*} f(0.05) \neq 3.11 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von FlipEich
Nur bei der anschließenden Rechnung der Steigung und Aufstellung der Gleichung bin ich ratlos.

Welche der Funktionen (also f(x), f'(x), f''(x)...) gibt denn die Steigung an?

04.11.2009, 19:38

FlipEich

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Vielen Dank für die Antwort.

Aus der quad. Lösungsformel ergab sich bei mir:

-320*x^2+32*x+9,6 | *(-1)

320*x^2-32*x-9,6 | PQ-Formel

x1=32,3
x2=-0,3

x1 verwirrt mich sehr als Wert da er in keinem Zusammenhang mit der Zeichnung stehen kann, auch durch die anschließende Überprüfung durch Einsetzen in die 2. Funktion ergab sich eine solch hohe Zahl, dass irgendetwas nicht stimmen kann.

Zu 2.

Meines Wissens ergibt sich die Steigung der Wendetangente durch Einsetzen des X-Wertes vom Wendepunkt in die 1. Ableitung.
Da kommt es bei mir zu einer Steigung von 10, was entgültig zu einer Funktion führt die wie folgt aussieht:
y=10x+3,06

Liebe Grüße

04.11.2009, 19:56

Q-fLaDeN

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Bitte immer Gleichungen hinschreiben, wenn es um Gleichungen geht Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} 320*x^2-32*x-9,6 = 0 \end{eqnarray*}$

Hier kannst du die pq Formel natürlich NICHT anwenden, da wir hier die allgemeine Form

$\begin{eqnarray*} ax^2+bx+c = 0 \end{eqnarray*}$

haben und man das nicht mit der pq Formel lösen kann. Entweder teilst du vorher noch durch 320 und wendest dann die pq Formel an oder du lässt es so stehen und benutzt die Mitternachtsformel.

04.11.2009, 20:16

FlipEich

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Oh man

Sieht man wieder wie ich gerade neben der Spur war...
Danke für den Hinweis, nun geht auch alles auf und ich komme auf folgenden Hochpunkt: (0.21 | 4.33).

Bei der Wendetangente kam ich auf $\begin{eqnarray*} y=10*x+3,06 \end{eqnarray*}$ dies scheint mir auch richtig.

Somit wäre jedes Problem gelöst smile

Ich hoffe du stimmst mir mit meinen Lösungen überein.

Vielen Dank & Liebe Grüße

04.11.2009, 20:30

Q-fLaDeN

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Wendetangente ist leider falsch. Auch der Hochpunkt ist nicht exakt richtig.

04.11.2009, 20:43

FlipEichn

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Habe beide Rechnungen nochmal nachgerechnet und komme beidesmal wieder auf die selben Ergebnisse.

Weisst du zufällig wo mein Rechenfehler liegen könnte ?

$\begin{eqnarray*} 320*x^2-32*x-9,6 \end{eqnarray*}$ | Mitternachtsformel

x1=0,21
x2=-0,11

Überprüfung: Einsetzen der x-Werte in f''

$\begin{eqnarray*} -640*0,21+32 =-102,4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -640*-0,11+32=102,4 \end{eqnarray*}$

Das ergibt das x1(0,21) ein Hochpunkt ist ?

Folgendes einsetzen in die Funktion:
$\begin{eqnarray*} k(x)=-320/3*x^3+16*x^2+48/5*x+13/5 \end{eqnarray*}$

ergibt bei mir 4,33

________________________________________

Bei der Wendetangente kam ich wie vorhin schon gesagt auf eine Steigung von 10.
Dabei kommt es durch Umsetzen von
$\begin{eqnarray*} y=mx+b \end{eqnarray*}$ | Einsetzen von m; x ; y
$\begin{eqnarray*} 3,11=0,5+b \end{eqnarray*}$ | -0,5
3,06 = b

04.11.2009, 21:59

Q-fLaDeN

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$\begin{eqnarray*} 320x^2-32x-9,6 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a} = \frac{32 \pm \sqrt{13312}}{640} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{20} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = \frac{1+\sqrt{13}}{20} \approx 0.23 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2 = \frac{1-\sqrt{13}}{20} \approx -0.13 \end{eqnarray*}$

Um exakte Werte zu erhalten, darf man hier nicht runden, denn dann werden auch Ergebnisse, die auf diesen aufbauen falsch.

Der Hochpunkt ist also $\begin{eqnarray*} H\left(\frac{1+\sqrt{13}}{20} \bigg| f(\frac{1+\sqrt{13}}{20})\right) \end{eqnarray*}$

Wendepunkt:

$\begin{eqnarray*} x_w = 0.05 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_w = f(x_w) = -320/3 \cdot (0.05)^3+16 \cdot (0.05)^2+48/5 \cdot (0.05)+13/5 = -\frac{0.04}{3}+0.04+0.48+2.6 = \frac{9.32}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} W\left(0.05\bigg|\frac{9.32}{3}\right) \end{eqnarray*}$

Steigung der Wendetangente:

$\begin{eqnarray*} m_w = f'(x_w) = f'(0.05) = -320 \cdot (0.05)^2+32 \cdot 0.05+9.6 = 10.4 \neq 10 \end{eqnarray*}$

Wendetangente:

$\begin{eqnarray*} t(x) = mx+b = 10.4x+b \end{eqnarray*}$

Wendepunkt einsetzen:

$\begin{eqnarray*} 10.4 \cdot 0.05 + b = \frac{9.32}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b=\frac{7.76}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} t(x) = 10.4x+\frac{7.76}{3} \end{eqnarray*}$

Ich weiss, dass das sehr kleinlich ist, aber das ist eben die exakte Lösung.

05.11.2009, 19:59

FlipEich

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Hiermit spreche ich 1000 Dank an dich aus smile

Hab nun auch alles konkret und mit Brüchen gerechnet und komme somit auf die exakten Lösungen.
Der Test kann kommen, vielen dank.

Liebe Grüße

Flip

05.11.2009, 21:34

Q-fLaDeN

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Bitte bitte Wink

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