direkter& indirekter Beweise, vollständige Induktion

04.11.2009, 20:28	Karinchen	Auf diesen Beitrag antworten »
direkter& indirekter Beweise, vollständige Induktion Hey Leute, leider hab ich meine letzte Mathevorlesung verpasst und komme jetzt so gar nicht mit meinen Hausaufgaben zurecht. da wir noch ziemlich am Anfang unseres Stoffes sind, schätze ich, dass es eigentlich gar nicht so schwer sein dürfte, aber als absolut Mathe-unfähiger Mensch schaff ich die dennoch nicht. deswegen würde ich auch um einfache erklärungen bitten^^, denn ich will ja nicht nur die lösungen, die könnt ich ja auch abschreiben, sondern das ganze auch verstehen. Ich danke euch jetzt schon mal, für eure Zeit und Mühe :-) Hier also die Aufgaben: a)beweisen Sie die Behauptung direkt, d.h. starten sie mit einer wahren aussage und folgern sie hieraus die behauptung ( tipp: binomische formel) b) Führen sie hierzu nun auch den widerspruchsbeweis/ indirekter beweis durch! Behauptung: Für beliebige a>0 und b>0 gilt: $\begin{eqnarray} \frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2 \end{eqnarray}$ 2. Aufgabe: Beweisen Sie mit Hilfe des Prinzips der vollständigen Induktion die nachfolgende Aussage: a) $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~k^3 = \frac{n^2(n+1)}{4} \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^n~k^2 = \frac{n^2(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray}$
04.11.2009, 20:31	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Zur 1. Aufgabe: Fange mit der offensichtlich wahren Aussagen $\begin{eqnarray} (a-b)^2 \geq 0 \end{eqnarray}$ an. Beim Widerspruchsbeweis nimmst du das Gegenteil an, also $\begin{eqnarray} \frac{a}{b}+\frac{b}{a}<2 \end{eqnarray}$ und folgerst daraus die falsche Aussage $\begin{eqnarray} (a-b)^2<0 \end{eqnarray}$

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