Untersuchen Sie, ob die Menge ein Untervektorraum von R² ist

04.11.2009, 22:10	Matheversteher	Auf diesen Beitrag antworten »
Untersuchen Sie, ob die Menge ein Untervektorraum von R² ist Guten Abend Matheboarder! Ich habe folgende Aufgabe, bei der ich eigentlich dachte ich hätte sie gelöst. Nun kommt aber ein Freund zu mir und sagt er habe ein völlig anderes Ergebnis. Untersuchen Sie, ob die Menge ein Untervektorraum von R² ist: $\begin{eqnarray} U_2 = \{\,(x,y)\in {\mathbb R}^2\mid x \leq y \,\} \end{eqnarray}$ hab mir gedacht ist doch eigentlich ganz einfach. "einfach" die drei Axiome runterrattern... 1) U muss mindest ein Element besitzen,dass die gleichung erfüllt (bekomme es in Latex nicht hin) 2) $\begin{eqnarray} u,v \in {\mathbb U} --> u+v \in {\mathbb U} \end{eqnarray}$ 3) $\begin{eqnarray} u \in {\mathbb U} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} a\in {\mathbb U} --> au \in {\mathbb U} \end{eqnarray}$ ...et voila problem gelöst. Meine Lösung ist, dass es ein Untervektorraum von R², denn ich habe folgendes: 1) $\begin{eqnarray} v = (1,2) \in {\mathbb U} \end{eqnarray}$ , da Gleichung erfüllt 2) $\begin{eqnarray} v = (1,2), u= (3,3) \in {\mathbb U} \end{eqnarray}$ somit gillt $\begin{eqnarray} v+u\in {\mathbb U} \end{eqnarray}$ und die gleichung ist wieder efüllt 3) $\begin{eqnarray} a=3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v = (1,2) \in {\mathbb U} \end{eqnarray}$ somit ist $\begin{eqnarray} au \in {\mathbb U} \end{eqnarray}$ wieder erfüllt und das ganze ist ein untervektorraum. Mein Freund hingegen hat dies: $\begin{eqnarray} U_2 = \{\,(x,y)\in {\mathbb R}^2\mid x \leq y \,\} \end{eqnarray}$ ist kein Untervektorraum von $\begin{eqnarray} {\mathbb R}^2 \end{eqnarray}$ . denn 1.) Es ist $\begin{eqnarray} v := (0,1) \in U_2 \end{eqnarray}$ , (hab ich auch soweit) aber bei 3) hat er das: wegen $\begin{eqnarray} 0\leq 1, und \lambda := -1 \in {\mathbb R} \end{eqnarray}$ . Aber $\begin{eqnarray} \lambda v = (0, -1) \end{eqnarray}$ ist nicht in $\begin{eqnarray} U_2 \end{eqnarray}$ . Also kann $\begin{eqnarray} U_2 \end{eqnarray}$ kein Untervektorraum von $\begin{eqnarray} {\mathbb R}^2 \end{eqnarray}$ sein. Meine Frage ist nun wer hat denn jetzt Recht?
04.11.2009, 22:16	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, dein Freund hat natürlich Recht. Er hat ein Gegenbeispiel angegeben! Dein Beweis ist nunmal kein Beweis, du musst das für alle Vektoren u,v und Skalare a zeigen, nicht nur für bestimmte!
04.11.2009, 22:21	Matheversteher	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok gut dann weis ich jetzt bescheid dann werde ich alles nochmal neu machen und mich auf die suche nach gegenbeispielen machen. Also reicht hier ein gegenbeispiel und alles ist hinfällig verstehe ich das recht? Könnte ich denn dann nicht in 3) alles allgemein lassen und "einfach" statt $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ auch $\begin{eqnarray} -a \end{eqnarray}$ nehmen? denn dann sieht man doch schon, dass es nicht passt.
04.11.2009, 22:24	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
a ist eine beliebige reelle Zahl, die kann genauso gut negativ sein. Damit ist es natürlich äquivalent -a zu nehmen, wenn auch sinnlos. Ja: Zum Widerlegen, Gegenbeispiel, sonst: Beweis
04.11.2009, 22:27	Matheversteher	Auf diesen Beitrag antworten »
Okee dann hab ich es jetzt. Vielen Dank für deine hilfe

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