Äquivalenzrelationen auf einer Menge M |
| 04.11.2009, 23:14 | sin(x²)= 99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Äquivalenzrelationen auf einer Menge M Sind R1 und R2 Äquivalenzrelationen auf einer Menge M, dann ist auch R1 geschnitten R2 eine Äquivalenzrelation auf M. *grübel* |
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| 04.11.2009, 23:42 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, Du musst ja nacheinander die Eigenschaften Reflexivität, Symmetrie und Transitivität durchgehen. Weil R1 und R2 Äquivalenzrelationen sind, gilt für alle x aus M sowohl als auch Und Bei der Symmetrie genauso: Seien x, y Elemente von M. Und dann fehlt ja nur noch die Transitivität. |
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| 04.11.2009, 23:48 | sin(x²)= 99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Transitivität = (a,b) e R und (b,c) e R also muss auch (a,c) e R sein! |
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| 04.11.2009, 23:48 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, und das musst Du bei der konkreten Relation nachweisen. |
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| 04.11.2009, 23:59 | sin(x²)= 99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das kann schwierig werden, aber ich versuchs: (a,b) e R1 und (b,c) e R1 ==> (a,c) e R1 UND (a,b) e R2 und (b,c) e R2 ==> (a,c) e R2 Wenn ich das jetzt schneide ja.. Dann ist das doch wieder eine Äquivalenzrelation.. |
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| 05.11.2009, 00:03 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du musst die beiden „Beweisstränge“ noch verbinden: Dann sind Reflexivität, Symmetrie und Transitivität nachgewiesen. Also ist jeder Durchschnitt zweier Äquivalenzrelationen selbst wieder eine Äquivalenzrelation. |
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| 05.11.2009, 00:06 | sin(x²)= 99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
was meinste mit "dein beweis" ?? soll ich das ausfüllen? Also müssen die Relationen in der Durschnittsmenge einfach alle diese 3 Eigenschaften erfüllt haben damit wieder eine Äquivalenzrelation vorhanden ist? |
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| 05.11.2009, 00:09 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ja, Du musst dann die beiden Zeilen einfügen, die Du oben schon aufgeschrieben hast. Also wenn (a, b) und (b, c) in dem Durchschnitt liegen, dann sowohl in R1 als auch in R2. Weil sie Elemente von R1 sind, ist (a, c) ein Element von R1; weil sie in R2 liegen, gehört (a, c) auch zu R2. Also liegt (a, c) in dem Durchschnitt. Wie gesagt, man musste diese beiden Beweiszeilen noch verbinden, denn so lange sie isoliert voneinander da stehen, ist der Beweis ja noch nicht fertig.
Der Durchschnitt ist selbst wieder eine Relation (nicht eine Menge von Relationen!), und man musste nachweisen, dass er auch eine Äquivalenz-Relation ist. Man muss nur die drei Eigenschaften nachweisen, weil eine Äquivalenzrelation ja gerade definiert ist als reflexive, symmetrische und transitivie Relation. |
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| 05.11.2009, 00:11 | sin(x²)= 99 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also ist das der Beweis (a,b) e R1 und (b,c) e R1 ==> (a,c) e R1 UND (a,b) e R2 und (b,c) e R2 ==> (a,c) e R2 ?? |
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| 05.11.2009, 00:17 | Jacques | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So meinte ich es: Seien x, y und z drei Elemente von M. |
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