Summe von Binomialkoeffizienten

04.11.2009, 23:49	NanoTubes	Auf diesen Beitrag antworten »
Summe von Binomialkoeffizienten Hallo zusammen, ich soll fogendes durch vollständige Induktion beweisen: $\begin{eqnarray} <br /> \sum_{m=1}^n~\begin{pmatrix} n+k-m \\ k \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} n+k \\ k+1 \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Ich habe gezeigt, dass die Annahme für n=1 stimmt. Also müsste ich doch jetzt noch zeigen: $\begin{eqnarray} <br /> \sum_{m=1}^n~\begin{pmatrix} n+k-m \\ k \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} (n+1)+k-(n+1) \\ k \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} (n+1)+k \\ k+1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ oder? Mit der Annahme, dass die Behauptung für n gilt kann ich dann doch schreiben: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} n+k \\ k+1 \end{pmatrix} +\begin{pmatrix} (n+1)+k-(n+1) \\ k \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (n+1)+k \\ k+1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray}$ Wenn ich das dann mit den entsprechenden Fakultäten schreibe komme ich zum Schluss auf: $\begin{eqnarray} <br /> \frac{(n+k)!}{n!k!} =1<br /> \end{eqnarray}$ Das ist doch eigentlich dasselbe wie: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} n+k \\ k \end{pmatrix} =1<br /> \end{eqnarray*}$ Das ist meiner Meinung nach nicht wirklich richtig, oder ich sehe einfach nicht, warum es richtig ist... Kann mir aber auch nicht erklären, wo ich einen Fehler gemacht habe. Falls mir jemand bei diesem Problem helfen könnte wäre ich sehr froh.
04.11.2009, 23:56	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe von Binomialkoeffizienten Summe von Binomialkoeffizienten

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