Approximieren und Vektoren

04.11.2009, 23:56

Philodoof

Approximieren und Vektoren

Seien $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{w} \end{eqnarray*}$ Vektoren im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ der von ihnen eingeschlossene Winkel. Seien weiter s := | $\begin{eqnarray*} \vec{v} \end{eqnarray*}$ | und r := | $\begin{eqnarray*} \vec{w} \end{eqnarray*}$ | sowie x = \frac{s}{r} . Finden Sie mit Hilfe Ihres Schulwissens
einen Ausdruck für $\begin{eqnarray*} |\vec{v} - \vec{w}| \end{eqnarray*}$ , und approximieren Sie $\begin{eqnarray*} \frac{1}{|\vec{v} - \vec{w}| } \end{eqnarray*}$ durch einen Ausdruck
der Form $\begin{eqnarray*} \frac{1}{r} \end{eqnarray*}$ (A + Bx + Cx² +...)
unter der Voraussetzung, dass s << r gilt.

Wenn s<<r, dann geht x gegen 0. Also approximiert $\begin{eqnarray*} \frac{A}{r} \end{eqnarray*}$ doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{|\vec{v} - \vec{w}| } \end{eqnarray*}$ , oder?

Was für einen Ausdruck kann ich denn für $\begin{eqnarray*} |\vec{v} - \vec{w}| \end{eqnarray*}$ einsetzen? Mir fällt kein sinnvoller ein.

05.11.2009, 07:04

Mazze

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Also Du hast Winkel gegeben und Beträge, vielleicht kann man da ja was mit dem Skalarprodukt machen. Also

$\begin{eqnarray*} |v - w| = \sqrt{\langle v - w, v - w \rangle} \end{eqnarray*}$

Allerdings bezieht sich der Winkel ja auf $\begin{eqnarray*} \langle v,w\rangle \end{eqnarray*}$

05.11.2009, 08:39

Philodoof

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Zunächst einmal allgemeine Fragen um das nachvollziehen zu können:
-bedeuten diese geknickten Klammern irgendetwas besodneres? Habe die noch nie zuvor gesehen.
-was bedeutet das Komma unter der Wurzel? Soll das einen Dezimalbruch kreieren?

05.11.2009, 08:44

Mazze

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Du kennst das Skalarprodukt zweier Vektoren sicher noch aus der Schule als $\begin{eqnarray*} x \cdot y \end{eqnarray*}$ . Es gibt eine andere Scrheibweise die eigentlich immer ausserhalb der Schule verwendet wird. Nämlich

$\begin{eqnarray*} x \cdot y = \langle x, y \rangle \end{eqnarray*}$

Das heisst die eckigen Klammern bezeichnen das Skalarprodukt. Manchmal wird auch (x,y) für das Skalaprodukt von x und y geschrieben.

05.11.2009, 09:06

Philodoof

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Okay, dann habe ich ja schonmal wieder was gelernt. smile

Nächste Unklarheit: hast du unter der Wurzel Indizes vergessen? Weil sonst wäre das ja ein Skalarprodukt zweier identischer Vektoren. Nämlich glaube den Vektoren der Strecke VW, oder?

05.11.2009, 09:14

Mazze

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Nein es gilt Allgemein (für die euklidische Länge (norm) eines Vektors) :

$\begin{eqnarray*} |v| = \sqrt{\langle v , v \rangle} \end{eqnarray*}$

In Worten : Die euklidische Länge eines Vektors ist gleich der Wurzel aus dem Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst.

Das mit dem Skalarprodukt ist hier aber nur eine Vermutung meinerseits. Muss nicht zielführend sein, aber dadurch das ein Winkel und die 2 Beträge gegeben sind kann es schon klappen.

05.11.2009, 09:25

Philodoof

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Ist also $\begin{eqnarray*} |\vec{v}-\vec{w}| = \sqrt{2(v-w)} \end{eqnarray*}$ ?

05.11.2009, 09:34

Mazze

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Zitat:

Ist also $\begin{eqnarray*} |\vec{v}-\vec{w}| = \sqrt{2(v-w)} \end{eqnarray*}$ ?

Das ergibt schon Formal keinen Sinn. Hast Du schonmal eine Wurzel aus einem Vektor gezogen?

05.11.2009, 09:43

Philodoof

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Ne, deswegen habe ich unter der Wurzel ja auch keine Vektorpfeile mehr.^^

Sieht das besser aus? $\begin{eqnarray*} \sqrt{(v_1-w_1)^4 + (v_2-w_2)^4 + ... + (v_n-w_n)^4} \end{eqnarray*}$

05.11.2009, 13:16

Philodoof

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Kann denn niemand mehr weiterhelfen?

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