Reihe von Sigma x^(k-1)*k^2

05.11.2009, 02:10	spaeterpeter	Auf diesen Beitrag antworten »
*Reihe von Sigma x^(k-1)k^2** Hallo! Ich sitze hier an meinem Übungszettel und habe ein Problem. Es ist die Reihe 1+4x+9x²+16x³ usw. gegeben. Wir sollen nun die Funktion finden, welche diese Reihe entwickelt. Meine Idee bisher sind, dass ich irgendwie die Reihe von 1/(1-x) mit sich selber multiplizieren, denn das ergäbe ja 1+2x+3x^x usw. Mir fehlt jetzt quasi nur noch, dass ich die Koeffizienten vor dem X quadriere, aber ich habe leider eigentlich garkeine Ahnung wie ich das bewerkstelligen soll. Ein Kumpel von mir meinte, es käme (x+1)/(x-1)^3 raus, aber er habe es wohl selber nur abgeschrieben. Nur so eine Lösung hilft mir in meinem Verständnisprozess natürlich auch nicht... wenn ich 1/(x-1) mit 3 potenziere, sind die Abstände der Koeffizienten 3,6,9, etc. Obviously brauche ich aber 3,5,7,9 etc. Ich hab nur leider keine Ahnung wie ich die da reinzauber.. ich muss ja einfach nur von 3,6,9.. einen Abstand abziehen, der immer um einen größer wird, also 0,1,2,3... Entschuldigung für die kryptische Wortwahl, bin noch nicht so an das "studentische Nachtleben" in diesem Sinne gewohnt... Wie komme ich im Allgemeinen auf Funktionen zu Reihen? Welcher Tipp könnte mich auf den richtigen Weg bringen? Freundliche Grüße der späte Peter
05.11.2009, 19:37	Orakel	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Reihe von Sigma x^(k-1)k^2** benutze zunächst die identität $\begin{eqnarray} kx^{k-1}=(x^k)' \end{eqnarray}$ damit gilt $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty k^2x^{k-1}=\left(\sum_{k=1}^\infty kx^k\right)' \end{eqnarray}$ , denn diese potenzreihe darf für $\begin{eqnarray} \|x\|\le r<1 \end{eqnarray}$ für jedes feste $\begin{eqnarray} r\in (0,1) \end{eqnarray}$ gliedweise differenziert werden. nun ziehen wir aus der summe ein x raus und verwenden den gleichen trick nocheinmal, also $\begin{eqnarray} \left(\sum_{k=1}^\infty kx^k\right)'=\left[x\left(\sum_{k=1}^\infty x^k\right)'\right]' \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|x\|<1 \end{eqnarray}$ kannst du nun alles ausrechnen!
09.11.2009, 21:47	spaeterpeter	Auf diesen Beitrag antworten »
Mh okay, ich hab deine Lösung nicht ganz nachvollziehen können da mir "Identität" ein Fremdwort bislang ist, aber ich danke trotzdem. PS ich habs jetzt durch Teilen der gewünschten Reihe durch die bekannte rausbekommen. Habe erst nen Denkfehler dabei gehabt, darum ging es vorher nicht.

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