Summe (k² * q^k-k*q^k)

05.11.2009, 09:54

NanoTubes

Summe (k² * q^k-k*q^k)

Hallo,

ich soll für folgendes erst die Summationsformel berechnen und diese dann mit vollständiger Induktion beweisen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(k²q^{k}-kq^{k} ) \end{eqnarray*}$

Ich scheitere leider schon beim Berechnen der Summationsformel. Bis jetzt habe ich bloß die Summe auseinandergezogen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~(k²q^{k}-kq^{k} )=\sum_{k=1}^n~(k²q^{k})-\sum_{k=1}^n~kq^{k} ) \end{eqnarray*}$

Wäre sehr dankbar für einen Tipp wie es dann weitergeht,

MfG

Nano

05.11.2009, 10:27

gonnabphd

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hier ein Tipp:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k*q^k= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q^1+q^2+q^3+q^4+... +q^2+q^3+q^4+... +q^3+q^4+... +q^4+... +... \end{eqnarray*}$

05.11.2009, 10:52

Airblader

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Kleine Zwischenfrage:

Uni Stuttgart, Analysis I bei Prof. Weidl?
Falls ja: Ich hatte zwischenzeitlich auch mal unseren Tutor gefragt, der meinte, wir müssten nicht unbedingt selbst auf die Ausdrücke kommen (gerade bei der (b)), sondern der Beweis wäre das Entscheidende - hat jedenfalls mein Tutor gesagt.

air

05.11.2009, 18:30

NanoTubes

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Re: Kleine Zwischenfrage
Ja, ich hab auch Analysis I bei Prof. Weidl. Aus dem Tipp oben werde ich leider auch nicht schlauer.
Was meinst du denn mit "nicht unbedingt selber auf die Ausdrücke kommen"?
Wie soll ich denn sonst auf die Summationsformel kommen? Steht die irgendwo?

MfG

Nano

05.11.2009, 18:34

Airblader

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Natürlich steht die "irgendwo". Und für "irgendwo" ist wikipedia immer eine gute Anlaufstelle. Im vorliegenden Fall aufgrund der Ähnlichkeit zB unter "Geometrische Reihe" (und da stehen die beiden Teilausdrücke sogar).

Achtung: Ich weiß nicht, wie es dein Tutor handhabt. Ich bin in Gruppe 8 und das meinte halt mein Tutor.

air

05.11.2009, 18:42

tmo

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Die Herleitung ohne Differentialrechnung kann analog zur normalen geometrischen Reihe so funktionieren:

Es ist
$\begin{eqnarray*} (q-1)\sum_{k=1}^n k(k-1)q^k = \sum_{k=1}^n (q-1)k(k-1)q^k = \sum_{k=1}^n \left( k(k-1)q^{k+1}-k(k-1)q^k \right) = \sum_{k=1}^n \left( k(k+1)q^{k+1}-k(k-1)q^k \right) - \sum_{k=1}^n 2kq^{k+1} \end{eqnarray*}$

Das erste ist ne Teleskopsumme, das zweite kann berechnet werden indem man dasselbe nochmal macht. Also wieder mit q-1 multiplizieren und so umformen.

05.11.2009, 18:55

gonnabphd

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k*q^k= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q^1+q^2+q^3+q^4+... +q^2+q^3+q^4+... +q^3+q^4+... +q^4+... +... \end{eqnarray*}$

die Zeilen sind alle geometrische Reihen, somit ist die erste gleich q*(1-q^n)/(1-q), die zweite =q^2*(1-q^n)/(1-q)

Folglich ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k*q^k=\sum_{k=1}^n~q^k\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{1-q^n}{1-q}*\sum_{k=1}^n~q^k=\frac{1-q^n}{1-q}*(\frac{1-q^n}{1-q}) \end{eqnarray*}$

05.11.2009, 19:02

Airblader

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Eine Anmerkung an alle:

Wir hatten weder geometrische Reihen, noch Teleskopsummen. Zudem finde ich irgendwie, dass eine direkte Herleitung einen Induktionsbeweis doch ad absurdum führt, oder?

air

05.11.2009, 23:48

tmo

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Zitat:

Original von gonnabphd
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k*q^k= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q^1+q^2+q^3+q^4+... +q^2+q^3+q^4+... +q^3+q^4+... +q^4+... +... \end{eqnarray*}$

die Zeilen sind alle geometrische Reihen, somit ist die erste gleich q*(1-q^n)/(1-q), die zweite =q^2*(1-q^n)/(1-q)

Folglich ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k*q^k=\sum_{k=1}^n~q^k\frac{1-q^n}{1-q}=\frac{1-q^n}{1-q}*\sum_{k=1}^n~q^k=\frac{1-q^n}{1-q}*(\frac{1-q^n}{1-q}) \end{eqnarray*}$

Wenn schon, dann richtig:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n kq^k = \sum_{k=1}^n \sum_{i=k}^nq^i=\sum_{k=1}^n\left( \frac{1-q^{n+1}}{1-q} - \frac{1-q^k}{1-q} \right) \end{eqnarray*}$

@Airblader: So eine Herleitung wie sie z.b. in diesem Post vorgeschlagen wird, ist immer so ne Sache. Ist zwar einleuchtend und auch korrekt, aber ein formaler Beweis mit Induktion schadet nie um das Ergebnis wirklich abzusichern.

06.11.2009, 00:24

Airblader

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Zitat:

Ist zwar einleuchtend und auch korrekt, aber ein formaler Beweis mit Induktion schadet nie um das Ergebnis wirklich abzusichern.

Tut mir leid, aber diesem "Prinzip" kann ich nicht zustimmen.
Die Mathematik ist ein logisches Gebäude, extra so aufgebaut, dass man nicht verschiedene Absicherungen benötigt, sondern ein gültiger Beweis genügt.

Eine direkte Herleitung, sofern in sich korrekt, ist damit Beweis genug und macht jeden zusätzlichen Nachweis unnötig. Sieht man dies nicht so und verlangt einen zweiten Beweis als Verstärkung, dann könnte man genauso gut jeden Induktionsbeweis hinterfragen und einen weiteren Beweis für alles Mögliche verlangen.
Damit führt man meiner Meinung nach aber eine der größten Stärken der Mathematik ins Nichts und zerstört sich einen der enormen Vorteile, die man mit mühevoller Exaktheit aufgebaut hat.

Der einzige Grund, bei dieser Aufgabe ggf. zwei Nachweise zu führen, liegt, wenn überhaupt, darin, dass man die direkte Methode zur Konstruktion eines geschlossenen Ausdrucks benötigt - die vollständige Induktion ist ja nunmal ein Beweisverfahren, das ohne vorherige Vermutung nicht auskommt -, die Aufgabe es jedoch verlangt, mit vollständiger Induktion "nachzulegen" - ob das nun besonders sinnvoll ist oder nicht (im mathematischen Sinne; pädagogisch gesehen dürfte es das zweifelsfrei sein).

air

06.11.2009, 01:08

wogir

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wollt auch noch meinen senf dazugeben

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k q^k=q\frac{d}{dq}\sum_{k=1}^n q^k=q\frac{d}{dq}\frac{q-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$

und ähnliches für

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n k^2 q^k \end{eqnarray*}$

06.11.2009, 07:33

Airblader

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Auch das steht ja auf wikipeda - aber selbes Argument: Von der Differentialrechnung sind wir in der Vorlesung noch ein Stück entfernt.

air

06.11.2009, 10:01

tmo

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Zitat:

Original von Airblader
Tut mir leid, aber diesem "Prinzip" kann ich nicht zustimmen.
Die Mathematik ist ein logisches Gebäude, extra so aufgebaut, dass man nicht verschiedene Absicherungen benötigt, sondern ein gültiger Beweis genügt.

Da hast du natürlich Recht, aber ist das "Dreieck" von gonnabphd und meine daraus gefolgerte Identität $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n kq^k = \sum_{k=1}^n \sum_{i=k}^nq^i \end{eqnarray*}$ denn ein sicherer Beweis? Darüber könnte man sich streiten, wie exakt ein solcher Beweis denn auszusehen hat.

Somit ist ein Induktionsbeweis danach zumindest noch debattierbar und damit nicht ad absurdum Augenzwinkern

Und mal unter uns: Wenn nicht explizit die Induktion gefordert wäre und mir die Aufgabe gestellt wäre, dann würde ich den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n \sum_{i=k}^nq^i \end{eqnarray*}$ noch auswerten, evtl. das Ergebnis mit dem von Wikipedia vergleichen und gut is^^ Aber hier wollen sie halt den Induktionsbeweis, was natürlich didaktische Gründe hat, aber auch von der Mathematik her wenigstens ein bisschen verständlich ist.

@wogir: Wie man hier sieht

Zitat:

Original von tmo
Die Herleitung ohne Differentialrechnung kann analog zur normalen geometrischen Reihe so funktionieren:

, hatte ich den Senf auch schon aufm Löffel, hab ihn aber aus von Airblader schon genannten Gründen wieder ins Glas getan Augenzwinkern

06.11.2009, 12:26

gonnabphd

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Ich denke nicht, das eine Herleitung wie die von mir vorgeschlagene in allen Fällen reicht... Sie ist zwar anschaulich und intuitiv, jedoch wird es z.B. bei unendlichen Reihen (Riemannscher Umordnungssatz) und in anderen Gebieten noch viel weniger intuitive Dinge geben, die man wohl besser aufs Genaueste überprüft.

Solange man sich auf "n" beschränkt passiert sowas jedoch eher weniger.

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