Gamblers Ruin

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hxh Auf diesen Beitrag antworten »
Gamblers Ruin
Hallo,

ich hab hier ein paar Fragen zu einer Aufgabe, die lautete folgendermaßen.

ist eine FOlge von iid diskreten Zufallsvariablen. .
ist ein diskreter Prozess, der so definiert ist . Also die symmetrische Irrfahrt. S_0 = 0 .

Zuerst sollte ich zeigen dass Martingale sind. Das war im Grunde kein Problem, nur eine Frage dazu.

Sei , für m>=n gilt dann:



Oder sollte ich das lieber mit n+1 machen anstatt m ? Im Grunde ist es doch egal.


So nun das eigentliche Problem:

Wir spielen ein Münzwurfspiel und Starten mit dem Kapital . Im Falle von Kopf gewinnen wir 1 € und im Falle von Zahl verlieren wir 1 € . Wir spielen dieses Spiel entweder bis wir N Geldeinheiten gewonnen haben oder Bankrott gehen.
Ausrechnen soll man nun die Wahrscheinlichkeit dafür Bankrott zu gehen und die erwartete Dauer des Spiels.

Nun sei eine Stoppzeit bzgl und jedes Ergebnissist \mathcal mesßbar. Wenn nun
Da S_n ein Martingal ist und T eine Stoppzeit, dann gilt



Damit bekommt man dann immerhin die Wahrscheinlichkeit raus wann man Bankrott geht.





Aber wie man auf die Durschnittliche Dauer kommen soll, hab ich keine Ahnung, kann mir da jemand eventuell behilflich sein.

Grüße
Lord Pünktchen Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gamblers Ruin
Ich machs einfach mal etwas Ausführlich. Hab für die Ruinwahrscheinlichkeit nämlich etwas anderes raus.
Dein Ergebnis kann einfach nicht stimmen, denn falls k größer als N ist, hätte man eine negative Wahrscheinlichkeit und soetwas ist unmöglich.


Sei Z unsere symmetrische einfache Irrfahrt.

Definiere:



und sind Stoppzeiten und damit auch

Desweiteren gilt:

und Also gilt und
D.h die Werte -k und N werden f.s. angenommen.

Nach dem Optional Stopping Theorem ist ein Martingal, da ein Martingal ist.

Da durch (N + k) berschränkt ist folgt:




Daraus folgt:


Nun zur erwarteten Dauer:

ist ein Martingal. Nach dem Optional Stopping Theorem ist eine Stoppzeit ist.

Damit folgt:



Dies ist die erwartete Dauer.


P.S. Edits kommen daher dass ich mich erst noch an Latex gewöhnen muss

Edit: Als Notationshinweis:
hxh Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deinen ausführlichen Beitrag Lord Pünktchen !

Du hast natürlich recht ich hatte stillschweigend vorrausgesetzt dass 0<=k<= N ist.

Bei der Warhscheinlichkeit hab ich irgendeinen Denkfehler wohl gehabt verwirrt
Deinen Weg kann ich sehr gut nachvollziehen und es leuchtet mir ein.

Was ich mich bei der Dauer jedoch Frage, wieso verwendet man dieses Martingal dafür, wie kann man das Intuitiv begründen ?
Lord Pünktchen Auf diesen Beitrag antworten »

1. Ok, jetzt hab ich deinen Denkfehler gefunden.

Du startest die Irrfahrt bei k Geldeinheiten und hörst auf, wenn du 0 Geldeinheiten hast (d.h. k Geldeinheiten verloren) und wenn du N Geldeinheiten hast (d.h. N-k Geldeinheiten gewonnen hast).

Aber du solltest dann aufhören wenn du 0 oder N+k Geldeinheiten hast.

Damit hättest du:




2. Frage: Warum wählt man ?

Antwort: Du suchst einen für den gilt:

I ist ein Martingal und

II Du kannst berechnen.

Denn dann folgt

Was einem dazu einfallen kann ist der quadratische Variationsprozess.

Denn ist ein Martingal und damit auch

und dieser leistet gewünschtes

(wobei hier ja sogar gilt Augenzwinkern
hxh Auf diesen Beitrag antworten »

Ahh Ok ich hab das echt anders verstanden mit dem Aufhören der Irrfahrt .
Das Übrige verstehe ich jetzt auch.

Großes Dankeschön für die ausführliche Erklärung Wink
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