Rechenregeln für Normalverteilung?

05.11.2009, 12:03

JanaS

Rechenregeln für Normalverteilung?

Hallo!

Ich habe eine Normalverteilung $\begin{eqnarray*} X\in N(2,\sigma^{2} ) \end{eqnarray*}$ und soll die Varianz $\begin{eqnarray*} sigma^(2) \end{eqnarray*}$ bestimmen für [/latex]P(2X>2)=2P(X<1)[/latex].

Kann ich 2X>2 umformen in X>1? Und kann ich 2P(x<1) umformen, indem ich erst P(x<1) ausrechne und das dann mit 2 multipliziere? Wahrscheinlich nicht, denn dann kommt bei mir $\begin{eqnarray*} sigma=0 \end{eqnarray*}$ heraus...

Vielen Dank für Eure Hilfe!

Viele Grüsse, Jana

05.11.2009, 12:51

JanaS

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RE: Rechenregeln für Normalverteilung?
Es kommt sigma=unendlich raus, nicht Null. Aber trotzdem macht das keinen Sinn...

10.11.2009, 09:24

JanaS

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RE: Rechenregeln für Normalverteilung?
Hallo!

Ich habe nochmal gerechnet und wüsste gerne, ob das so richtig ist:

$\begin{eqnarray*} X \in N (2, \sigma^2) \end{eqnarray*}$

Ich soll die Varianz $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ bestimmen für P(2X>2)=2P(X<1).

P(2X>2)=P(x>1)

$\begin{eqnarray*} P(X>1)=1-P(X \leq 1)=1-\Theta(\frac{1-2}{\sigma^2} )=1- \Theta(-\frac{1}{\sigma^2})=\Theta (\frac{1}{\sigma^2}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} P(X<1)=\Theta(\frac{1-2}{\sigma^2} ) = 1-\Theta (\frac{1}{\sigma^2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Theta (\frac{1}{\sigma^2}) = 2*( 1-\Theta (\frac{1}{\sigma^2})) \end{eqnarray*}$

umgeformt ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} 3* \Theta (\frac{1}{\sigma^2})=2 \end{eqnarray*}$

und somit ist $\begin{eqnarray*} \sigma^2=2,33 \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

Vielen Dank und viele Grüsse,
Jana

10.11.2009, 11:00

Huggy

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RE: Rechenregeln für Normalverteilung?
Lautet die Aufgabe wirklich so???

Denn erstens ist $\begin{eqnarray*} P(2X>2) \end{eqnarray*}$ einfach eine Zahl und keine Verteilung! Und eine Zahl hat keine Standardabweichung!

Zweitens ist

$\begin{eqnarray*} P(2X>2) \neq 2P(X>1) \end{eqnarray*}$

Es ist

$\begin{eqnarray*} P(2X>2) = P(X>1) \end{eqnarray*}$

10.11.2009, 11:20

JanaS

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RE: Rechenregeln für Normalverteilung?
Hallo Huggy!

Ja, die Aufgabe lautet wirklich so.

"Lass $\begin{eqnarray*} X\in N(2,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ sein. Bestimme die Varianz $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ falls P(2X>2)=2P(X<1)." (Wörtlich übersetzt, weil ich in einer anderen Sprache studiere)

Und P(2X>2)=P(x>1) habe ich in meiner Rechnung doch verwendet?

Also, ich habe P(X<1), was ja eine Zahl ist, wie Du geschrieben hast (klar!). Diese Zahl kann ich aber konkret nicht ausrechnen, weil mir die Standardabweichung $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ fehlt. Genau das gleiche trifft auf P(X<1) zu. Wieder habe ich eine Zahl, deren konkreten Wert ich aber nicht ausrechnen kann. Ich weiss aber, dass beide Zahlen gleich sind. Wenn ich diese Ergebnisse, in denen $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ ja enthalten ist, gleich setze, erhalte ich einen Wert für $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ . Ist das nicht richtig?

Viele Grüsse, Jana

10.11.2009, 11:54

Huggy

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RE: Rechenregeln für Normalverteilung?
Übersetzungen sind immer problematisch. Deine jetzige Formulierung macht die Sache etwas klarer. Du sollst nicht die Varianz von $\begin{eqnarray*} P(2X>2) \end{eqnarray*}$ bestimmen, was Unsinn wäre, somdern du sollst die Varianz von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ bestimmen unter der Voraussetzung $\begin{eqnarray*} P(2X>2)=2P(X>1) \end{eqnarray*}$ .

Das sieht aber nach wie vor nach einer Trickaufgabe aus. Denn es gilt nun mal völlig unabhängig von der Verteilung:

$\begin{eqnarray*} P(2X>2)=P(X>1) \end{eqnarray*}$

Die Vorausetzung der Aufgabe führt damit zu:

$\begin{eqnarray*} 2P(X>1)=P(X>1) \end{eqnarray*}$

Das ist nur erfüllbar für:

$\begin{eqnarray*} P(X>1)=0 \end{eqnarray*}$

Wenn nun $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ gemäß Voraussetzung normalverteilt ist, ist das höchstens für die entartete Normalverteilung mit $\begin{eqnarray*} \sigma = 0 \end{eqnarray*}$ erfüllbar. Aber auch das geht nur bei $\begin{eqnarray*} \mu \leq 1 \end{eqnarray*}$ . Bei $\begin{eqnarray*} \mu =2 \end{eqnarray*}$ ist die Bedingung nicht erfüllbar.

10.11.2009, 12:15

JanaS

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RE: Rechenregeln für Normalverteilung?
Könnte es sein, dass Du einen Zeichenfehler in Deiner Antwort hast? Es sind ja nicht beide X grösser, sondern eins grösser als 1 [P(2X>2)=P(X>1)] und eins kleiner als 1 [2P(X<1)].
Ich kann die pdf-Datei mit der Aufgabe hier nicht einstellen, sonst bekomme ich wahrscheinlich Ärger vom Prof... Aber sie lautet übersetzt wirklich so.

10.11.2009, 13:33

Huggy

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RE: Rechenregeln für Normalverteilung?
Ohne die Originalaufgabe ist eine Beurteilung schwierig. Aus deiner Antwort könnte man vermuten, dass die Voraussetzung lautet:

$\begin{eqnarray*} P(X_1+X_2>2)=2P(X>1) \end{eqnarray*}$

Wobei $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ normalverteilt sind mit $\begin{eqnarray*} \mu=2 \end{eqnarray*}$ und unbekanntem $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ .

Das wäre aber etwas anderes als die von dir genannte Bedingung

$\begin{eqnarray*} P(2X>1)=2P(X>1) \end{eqnarray*}$

10.11.2009, 13:48

JanaS

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RE: Rechenregeln für Normalverteilung?
Die komplette Originalaufgabe sieht so aus:
Låt X $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ N(2, sigma^2). Bestäm variansen sigma^2 om P(2X > 2) = 2P(X < 1). Mehr Aufgabe gibt es nicht.

Aber was ich meinte: Du schreibst schon wieder P(2X >1)=2P(X>1). Aber es ist

$\begin{eqnarray*} P(2X>2)=2P(X<1) \end{eqnarray*}$ .

Also einmal grösser und einmal kleiner.

10.11.2009, 13:56

Lord Pünktchen

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RE: Rechenregeln für Normalverteilung?
Falls es P(2X>2) = 2P(X<1) ist, dann gilt doch

1 - F(1) = P(X>1) = 2/3
und F(1) = P(X<1) = 1/3

bei einem gegebenen Erwartungswert von 2 sollte man doch nun mit der Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ durch einsetzen bestimmen können, oder?

10.11.2009, 14:31

Huggy

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RE: Rechenregeln für Normalverteilung?

Zitat:

Original von JanaS
Aber was ich meinte: Du schreibst schon wieder P(2X >1)=2P(X>1). Aber es ist

$\begin{eqnarray*} P(2X>2)=2P(X<1) \end{eqnarray*}$ .

Also einmal grösser und einmal kleiner.

Tut mir mächtig leid! Vielleicht sollte ich mir eine neue Brille zulegen. So ergibt die Aufgabe Sinn.

10.11.2009, 16:36

Lord Pünktchen

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RE: Rechenregeln für Normalverteilung?
Hab vorhin ganz übersehen, dass oben schon die Rechnung steht. Tschuldigung.

Aber es gilt:

$\begin{eqnarray*} F(x) = \Phi (\frac{x-\mu}{\sigma}) \end{eqnarray*}$

Da hast du $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ vertauscht.

Also gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{3} = F(1) = 1 - \Phi(\frac{1}{\sigma}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =>~ \frac{1}{\sigma} = 0,43 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =>~ \sigma = 2,33 \end{eqnarray*}$

Daher sollte das Ergebnis auch $\begin{eqnarray*} \sigma^2 = 2,33^2=5,4 \end{eqnarray*}$ sein.

10.11.2009, 17:10

JanaS

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RE: Rechenregeln für Normalverteilung?
So ganz verstehe ich das mit $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ noch nicht. In der Aufgabenstellung ist angegeben $\begin{eqnarray*} X \in N(2,\sigma^2) \end{eqnarray*}$ . Sonst steht doch immer in den Klammern der Erwartungswert und die Standardabweichung. Es ist klar, dass $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ die Standardabweichung ist und $\begin{eqnarray*} \sigma^2 \end{eqnarray*}$ die Varianz ist. Warum steht dort dann die Varianz in der Klammer statt der Standardabweichung? Kann man dort schreiben was man will???

Ist etwas schwer zu erklären, was ich meine... verwirrt

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