Gradienten und Richtungsableitungen

05.11.2009, 13:45

rosario

Gradienten und Richtungsableitungen

Hallo Leute, kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen? smile

Die Temperaturverteilung einer mit einem Teelicht beheizten Warmhalteplatte
wird durch die Funktion

$\begin{eqnarray*} v(x,y)=20°C+\frac{80°C}{1+\frac{1}{40}x^2+\frac{1}{40}y^2 } \end{eqnarray*}$
dargestellt. Wo steht das Teelicht?
Wogegen strebt die Temperatur, wenn man sich unendlich weit vom Teelicht entfernt?
Wie sehen die Isothermen (Kurven konstanter Temperatur) aus?

Spontan würde ich sagen, dass das Licht da steht wo der Graph die größte Steigung besitzt. Da ist ja die heißeste Stelle.

Wikipedia:

Zitat:

Interpretiert man beispielsweise die Höhenkarte einer Landschaft als eine Funktion h(x,y), die jedem Ort die Höhe an dieser Stelle zuordnet, dann ist der Gradient von h an einer Stelle (x,y) ein Vektor, der in die Richtung des steilsten Anstieges zeigt, und dessen Länge ein Maß für die Steilheit (Steigung) ist.

Wenn ich also den Gradient bestimme, dann habe ich die Stelle an der die Kerze steht oder?

http://upload.wikimedia.org/math/4/b/7/4b7e30c9ea20e210500145659a1bfef3.png

Ich leite also erstmal die Funktion nach x und nach y ab.
$\begin{eqnarray*} Vx(x,y)=-\frac{4x}{(1+\frac{1}{40}x^2+\frac{1}{40}y^2)^2 } <br /> <br /> Vy(x,y)=-\frac{4y}{(1+\frac{1}{40}x^2+\frac{1}{40}y^2)^2 } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f=grad(f)= \begin{pmatrix} -\frac{4x}{(1+\frac{1}{40}x^2+\frac{1}{40}y^2)² } \\ -\frac{4y}{(1+\frac{1}{40}x^2+\frac{1}{40}y^2)² } \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Das Ergebnis gefällt mir aber nicht. Sollte ich nicht lieber konkrete Punkte berechnen anstatt die Funktion einfach abzuleiten und und diese durch Vektorschreibweise auszudrücken?

Vielen Dank schonmal smile

05.11.2009, 13:53

Cel

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Du möchtest den Hochpunkt dieser Funktion berechnen. Stimmt soweit, und auch dein Gradient ist richtig. Du bist jetzt aber noch nicht fertig. Was ist notwendige Bedingung für einen Hochpunkt im mehrdimensionalen Raum?

$\begin{eqnarray*} grad(f) = (0,0) \end{eqnarray*}$

05.11.2009, 14:05

rosario

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Also wenn ich für x und y 0 einsetze wird mein Zähler 0 und mein Nenner 1 also hätte ich gezeigt das der Gradient auch 0 wird.

$\begin{eqnarray*} grad (f(0,0))=\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

05.11.2009, 14:09

Cel

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So, jetzt brauchst du auch noch die hinreichende Bedingung. Im Zweidimensionalen ist das f''(x) != 0, wie sieht es im Mehrdimensionalen aus? Bestimme die Hessematrix und zeige:

$\begin{eqnarray*} H_f((0,0)) < 0 \end{eqnarray*}$ , also dass die Hessematrix im Punkt (0,0) negativ definit ist. Ist sie nur semidefinit, wird es ungemütlich, aber bestimme erst mal die Matrix im Punkt (0,0) und sieh, was da los ist.

05.11.2009, 15:33

rosario

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} fxx & fxy & \\ fyx & fyy & \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{-4}{(1+\frac{1}{40}(x^2+y^2))^2}+\frac{2}{5}*\frac{x^2}{(1+\frac{1}{40}(x^2+y^2))^3} & \frac{2}{5}*\frac{xy}{{(1+\frac{1}{40}(x^2+y^2))^3}} & \\ \frac{2}{5}*\frac{xy}{{(1+\frac{1}{40}(x^2+y^2))^3}} & \frac{-4}{(1+\frac{1}{40}(x^2+y^2))^2}+\frac{2}{5}*\frac{y^2}{(1+\frac{1}{40}(x^2+y^2))^3} & \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich für x und y 0 einsetze kommt diese Matrix bei raus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -4 & 0 & \\ 0 & -4 & \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Matrix ist negativ definit, falls x^T*Ax < 0

öhm was ist denn A*x ?

05.11.2009, 15:54

Cel

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Ich glaube dir jetzt einfach mal, dass die Matrix richtig ist. Dass diese Matrix negativ definit ist, kannst du an zwei Sachen sehen:

Die Matrix hat nur den Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda_1 = -4 \end{eqnarray*}$ . Wenn eine Matrix nur negative Eigenwerte hat, dann ist sie negativ defnit.

Oder anders. Was ist $\begin{eqnarray*} x^TAx \end{eqnarray*}$ ? Matrixvektormuliplikation ist hier das Stichwort. Im R^2 läuft das dann so: Du musst zeigen, dass

$\begin{eqnarray*} x^TAx < 0 \; \forall \; x \in \mathbb{R}^2\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$ . Gilt das? Ja, denn:

$\begin{eqnarray*} (x_1, x_2)\begin{pmatrix}-4 & 0 \\ 0 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} =(x_1, x_2)\begin{pmatrix}-4 x_1 \\-4 x_2 \end{pmatrix} = -4x_1^2 - 4x_2^2 < 0 \end{eqnarray*}$

Wie man eine Matrix mit einem Vektor multipliziert, weisst du? Der letzte Schritt ist eigentlich auch ein Matrixprodukt, man kann es aber auch als Standard-Skalarprodukt von zwei Vektoren ansehen.

05.11.2009, 16:06

rosario

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Bin ich also mit dieser Aufgabe fertig?

Ich habe erst den Gradienten bestimmt was im zweidimensionalen dem Extremwert entsrechen würde. Danach habe ich die Hessematrix bestimmt was der 2 Ableitung entspricht. Da die 2 Ableitung <0 ist, heißt es das sich dort ein Maximum befindet.

05.11.2009, 16:19

Cel

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Genau so ist das! smile

05.11.2009, 16:21

rosario

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Okey vielen Dank Wink

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