Induktion Binomischer Satz-Ungleichung

05.11.2009, 14:15

Physinetz

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Induktion Binomischer Satz-Ungleichung

Hallo folgende Aufgabe:

Beweisen Sie mittels Induktion und des binomischen Satzes:

$\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R , x\geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N , n\geq 2 \end{eqnarray*}$
die Abschätzung:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n} \geq 1+\frac{n^2}{4}*x² \end{eqnarray*}$

Also den Induktionsanfang schenke ich mir hier...weiter mit dem Induktionsschluss:

Die Aussage muss auch für (n+1) wahr sein:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n+1} ~\begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} 1^{n-k+1}*x^k \end{eqnarray*}$

Nun will ich im weiteren Verlauf aus der Summe mit oberem Index n+1 die Summe bis n (oberer Index) laufen lassen und dazu dann noch den rest der Summe addieren, also ungefähr so:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n+1} ~\begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} 1^{n-k+1}*x^k= \sum_{k=0}^{n} ~\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} 1^{n-k}*x^k + X \end{eqnarray*}$

Nun ist das Problem das mir das X, also der Summand noch fehlt, wenn ich die Summe nur bis n laufen lassen würde anstatt n+1 ... Wie kommt man da dann drauf?

Also wenn ich habe (x+1)^{n+1}=(x+1)^n * (x+1) , dann geht es ja einfach, aber ich soll ja mit dem binomischen Lehrsatz arbeiten,d.h. dass ich es mit der Formel des binomischen Lehrsatzes schreibe und dann eben den index von n+1 auf n ändere...oder was meint ihr?

Gruß Physi

05.11.2009, 14:47

AD

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Zitat:

Original von Physinetz
Beweisen Sie mittels Induktion und des binomischen Satzes:

Ich würde den Satz eher so verstehen, dass du hier zwei Alternativbeweise für die Behauptung vorlegen sollst:

Einen mittels Induktion, und den zweiten mit Hilfe des binomischen Satzes.

Ich kann mir bei der Behauptung schlecht vorstellen, wieso man in sinnvoller Weise beides in einem einzigen Beweis brauchen sollte. Augenzwinkern

Augenzwinkern

05.11.2009, 15:09

Physinetz

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Zitat:

Original von Arthur Dent

Zitat:

Original von Physinetz
Beweisen Sie mittels Induktion und des binomischen Satzes:

Ich würde den Satz eher so verstehen, dass du hier zwei Alternativbeweise für die Behauptung vorlegen sollst:

Einen mittels Induktion, und den zweiten mit Hilfe des binomischen Satzes.

Ja korrekterweise heißt es nämlich auch:

"Mit Hilfe des binomischen Satzes zeigen Sie für...." und nicht "Beweisen Sie mittels Induktion und des binomischen Satzes:" ...

Ich dachte nur ich schreibe das hin weil ich oben irgendwas von Induktion gelesen habe...

Wie funktioniert das dann mit dem binomischen Satz?

05.11.2009, 15:17

Physinetz

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Das wäre ja dann:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n=\sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}1^{n-k}* x^k \end{eqnarray*}$

und nun..?

05.11.2009, 15:23

AD

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Für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ kannst du die rechte Summe nach unten abschätzen, indem du nur die beiden Summenglieder für k=0 und k=2 beibehältst, d.h. alle anderen einfach nach unten durch 0 abschätzt. Was erhältst du da?

05.11.2009, 18:24

Physinetz

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bevor ich fortfahre, wie funktioniert die Abschätzung von Summen?

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05.11.2009, 18:28

AD

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Mit "Abschätzung" ist hier eine einfache Ungleichung gemeint, wo ich lang und breit erklärt habe, wie sie durchzuführen ist - was willst du denn da noch wissen??? unglücklich

unglücklich

06.11.2009, 21:16

Physinetz

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Zitat:

Original von Arthur Dent
Für $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ kannst du die rechte Summe nach unten abschätzen, indem du nur die beiden Summenglieder für k=0 und k=2 beibehältst, d.h. alle anderen einfach nach unten durch 0 abschätzt. Was erhältst du da?

1.Hmm und wie komme ich da drauf dass ich nur die beiden Summenglieder für k=0 und k=2 behalten muss, dass das eine Abschätzung ist?

für k=0:

erhalte ich: 1

für k=2

erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \end{pmatrix}*1^{n-2}x² \end{eqnarray*}$

2.Und jetzt durch 0 abschätzen?wie funzt das dann? n=2 einsetzen?

3.Hmm ich verstehe eben den Sinn hinter dem ganzen nicht

Danke für deine Verzweiflung an mir :-D

06.11.2009, 22:16

outSchool

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$\begin{eqnarray*} (1+x)^n=\sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}1^{n-k}\cdot x^k = \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} 1^{n-0}\cdot x^0 + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} 1^{n-1}\cdot x^1 + \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} 1^{n-2}\cdot x^2 + \sum_{k=3}^n~\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}1^{n-k}\cdot x^k \end{eqnarray*}$

Klingelt es jetzt?

07.11.2009, 14:38

bergy

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Kann man dann dieses hier schreiben? Die 1 ^ n-k komponente kann man ja weglassen weil das immer 1 ergeben würde.

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} x^{0} + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} x^{1}+ \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} x^{2} \geq 1+ \frac{n^{2} }{4} x^{2} \end{eqnarray*}$

Wie würde man die Binominalkoeffizienten addieren? mittels der Summenformel? aber dann habe ich Probleme mit den daraus entstehenden Fakultäten..Wäre sehr dankbar für Hilfe

mfg

07.11.2009, 15:16

Physinetz

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ok soweit komme ich nun auch, nur dann hänge ich genauso...

ps: muss man nur bis k=2 gehen damit ich ein x² links bekomme, weil rechts eben auch ein x² enthalten ist?

08.11.2009, 00:53

Physinetz

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weiß jmd. weiter? danke

09.11.2009, 18:26

Physinetz

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hat jemand nen Plan?

09.11.2009, 22:07

outSchool

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Also nochmal

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n=\sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}1^{n-k}\cdot x^k = \begin{pmatrix} n \\ 0 \end{pmatrix} 1^{n-0}\cdot x^0 + \begin{pmatrix} n \\ 1 \end{pmatrix} 1^{n-1}\cdot x^1 + \begin{pmatrix} n \\ 2 \end{pmatrix} 1^{n-2}\cdot x^2 + \sum_{k=3}^n~\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}1^{n-k}\cdot x^k \geq 1 + \frac{n^2}{4} x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2} x^2 + \sum_{k=3}^n~\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}1^{n-k}\cdot x^k \geq 1 + \frac{n^2}{4} x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n \geq 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2} x^2 \geq 1 + \frac{n^2}{4} x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n \geq 1 + nx + \frac{n^2}{2} x^2 - \frac{n}{2} x^2 \geq 1 + \frac{n^2}{4} x^2 \end{eqnarray*}$

Jetzt mittleren Term mit rechten abschätzen, also zeigen, dass >= gilt für alle n >= 2.

$\begin{eqnarray*} nx + \frac{n^2}{4} x^2 - \frac{n}{2} x^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

Kommst du jetzt weiter?

09.11.2009, 23:47

Dobre

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$\begin{eqnarray*} \sum_{k=3}^n~\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}1^{n-k}\cdot x^k \end{eqnarray*}$

Ich versteh nur diesen Ausdruck nicht vollends nachvollziehen bräuchte für das eine kurze Aufklärung.
Weil man jetzt nach unten abschätzt, steht rechts eine 0 und das hier verschwindet

$\begin{eqnarray*} 1 + \frac{n^2}{4} x^2 \end{eqnarray*}$
oder wie?
Sorry, das mit der Abschätzung bei Ungleichungen ist für ein unbekanntes Terrain und mit der Wikipedia Erklärung kann ich auf die Aufgabe bezogen nichts anfangen.
MFG

10.11.2009, 18:02

outSchool

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2} x^2 + \sum_{k=3}^n~\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}1^{n-k}\cdot x^k \geq 1 + \frac{n^2}{4} x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n \geq 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2} x^2 \geq 1 + \frac{n^2}{4} x^2 \end{eqnarray*}$

Der Übergang von Zeile 2 nach 3 (aus = wird >=) wird gemacht, weil nach Definition n >= 2 ist und der Rest des Summenausdrucks >= 0 ist. Der Summenausdruck wird 0 gesetzt damit das auch für n = 2 gilt.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} (1+x)^n \geq 1 + nx + \frac{n^2}{2} x^2 - \frac{n}{2} x^2 \geq 1 + \frac{n^2}{4} x^2 \end{eqnarray*}$

Hier wird in der Mitte ausmultipliziert.

Zitat:

Jetzt mittleren Term mit rechten abschätzen, also zeigen, dass >= gilt für alle n >= 2.

$\begin{eqnarray*} nx + \frac{n^2}{4} x^2 - \frac{n}{2} x^2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

Hier wurde in der Mitte und rechts $\begin{eqnarray*} 1 + \frac{n^2}{4} x^2 \end{eqnarray*}$ abgezogen.

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