Funktionen, bijektiv, Umkehrfunktionen

05.11.2009, 15:33

silenone

Funktionen, bijektiv, Umkehrfunktionen

Hi zusammen!

Bin Erstsemester Informatik und hänge gerade an einer Matheaufgabe zu Funktionen:

Es seien $\begin{eqnarray*} f: X \longrightarrow Y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g: Y \longrightarrow Z \end{eqnarray*}$ bijektiv.

Zeigen Sie: $\begin{eqnarray*} $(g~o~f)^{-1} = g^{-1}~o~f^{-1}$ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^{-1} \end{eqnarray*}$ sei dabei die Umkehrfunktion zu f.

Reicht da als Lösung folgendes oder denke ich da einfach viel zu simpel?

$\begin{eqnarray*} $g~o~f: X ~^{\underrightarrow{f}}Y~^{\underrightarrow{g}}Z \\<br /> \Rightarrow (g~o~f)^{-1}: Z ~^{\underrightarrow{g^{-1}}} Y ~^{\underrightarrow{f^{-1}}} X \\<br /> \Rightarrow f^{-1}~o~g^{-1}$ \end{eqnarray*}$

Gruß,
silenone

05.11.2009, 15:47

Mazze

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Zitat:

Reicht da als Lösung folgendes oder denke ich da einfach viel zu simpel?

Du hast ja im Prinzip nur aufgeschrieben von wo nach wo die einzelnen Abbildungen abbilden. Der Beweis der Aussage ist allerdings nicht schwierig. Ist eine Funktion invertierbar so ist die Inverse eindeutig. Das heisst wenn Du

$\begin{eqnarray*} (g^{-1} \circ f^{-1}) \circ (f \circ g) = Id \end{eqnarray*}$

zeigst bist Du fertig. Und das ist nun wahrlich ein Einzeiler.

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