inverse Matrix berechnen

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siser3234 Auf diesen Beitrag antworten »
inverse Matrix berechnen
Hi ich habe eine Matrix

und soll dazu die inverse Matrix berechnen. Also bin ich wie folgt vorgegangen
Ich habe die ersten beiden Zeilen vertauscht

Und dann die erset mit 4 multipl. und von der 2 abgezogen



Danach hab ich die 3 mit 7 mult. und 2 und 3 addiert



Danach hab ich 3. dividiert durch -5


Danach hab ich die 1 mal 5.4 udn von der 2. abgezogen

Danach hab ich 1 durch 4.5 geteilt udn 2 durch 7


Nun 1 mit 9/7 multipl. und zu 3 addieren



Und hier ist das Prob teil ich die 1. durch 9/7 bekomme ich 17/45 -23/45 und -1 4/45 raus. Richtig musss dort aber 1/5 1/5 3/5 stehen. Wo habe ich da meinen Fehler? 2 und 3 gehen am Ende richtig auf.
Anmerkung 25/7 soll eigentlich 2 5/7 heißen
Kopfrechner Auf diesen Beitrag antworten »
RE: inverse Matrix berechnen
Hallo,

das Vertauschen von Zeilen beim Simultanverfahren ist m.E nicht erlaubt (oder muss geeignet rückgängig gemacht werden).

Mein Excel liefert für A^-1
0,2 0,2 0,6
0,4 -1,6 -3,8
0,2 -0,8 -1,4

Zum Nachrechnen deiner Werte war ich zu faul ... smile

Gruß, Kopfrechner
Cel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: inverse Matrix berechnen
Zitat:
Original von Kopfrechner
das Vertauschen von Zeilen beim Simultanverfahren ist m.E nicht erlaubt (oder muss geeignet rückgängig gemacht werden).


Nein? Ich hab gelernt, dass man das darf ...
Kopfrechner Auf diesen Beitrag antworten »
RE: inverse Matrix berechnen
Dann muss ich mein Excel noch einmal anwerfen, da klappte die Probe eben mit A*A^-1=E nicht.
Habe mathematischen Hintergrund nicht mehr parat, das war eine numerische Kontrolle. Ich werd's noch einmal prüfen.
Kopfrechner Auf diesen Beitrag antworten »
RE: inverse Matrix berechnen
Mein Excel liefert für A^-1 ohne Vertauschungen ...
0,2 0,2 0,6
0,4 -1,6 -3,8
0,2 -0,8 -1,4

und mit Vertauschung von 1./2. Zeile ...
0,2 0,2 0,6
-1,6 0,4 -3,8
-0,8 0,2 -1,4

also müssen die erste und zweite Spalte des Endergebnissen getauscht werden.

Die Rückrechnung A*A^-1 liefert ohne das Rücktauschen keine Einheitsmatrix.
Die mathematischen Hintergründe sollen jetzt andere klären, die in dem Stoff fit sind, ich bin's nicht mehr.

Gruß, Kopfrechner
siser21331 Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit dem Vertauschen ist egal. Man muss am Ende nur links die Einheitsmatrix stehen haben. Hab den Fehler letztlich gefunden. Hatte *4.5 grechnet da muss aber *3.5 hin.

lg siser
 
 
Kopfrechner Auf diesen Beitrag antworten »

Ich melde noch einmal Zweifel an: Ich habe gelernt, dass eineEinheitsmatrix eine besetzte Hauptdiagonale mit sonst lauter Nullen besitzt, also

1 0 0
0 1 0 = E
0 0 1

Und für eine inverse Matrix muss gelten: A*A^-1 = E.

Und das klappt nach dem Tauschen links ohne entsprechenden Spaltenrücktausch rechts nicht, rechne das mal nach.

Vielleicht kann dazu noch jemand Berufenes Stellung nehmen?

Gruß, Kopfrechner
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Na, das Prinzip ist doch folgendes:

Ich forme die Matrix A (links) mittles des Gauß-Algorithmus so lange um, bis ich die Einheitsmatrix erhalte und zeitgleich führe ich dieselben Schritte mit einer Einheitsmatrix (rechts) durch, immer Schritt für Schritt. Und Vertauschen zweier Zeilen ist eine elementare Umformung, die der Gauß-Algorithmus eindeutig zulässt.
Natürlich muss man die gleichen Zeilen links und rechts vertauschen und das hat siser3234 ja auch getan ...
Kopfrechner Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo siser, hallo Mr.Brightside,

damit wir das gleiche meinen, noch einmal meine Kernpunkte:

Das Thema von siser heißt: Inverse Matrix berechnen. Eine Matrix A^-1 ist invers zu A, wenn gilt: A*A^-1 = E. Die Einheitsmatrix E ist eine Matrix, die nur in der Hauptdiagonalen mit 1 besetzt ist, sonst mit 0. Die inverse Matrix kann (wenn sie existiert) mit dem Gauß-Jordan-Verfahren durch Simultanumwandlung erzeugt werden.

Wenn bei dieser Umwandlung eine Zeilenvertauschung vorgenommen wird, erhält man die inverse Matrix nur dann, wenn dieser Tausch am Schluss durch Spaltentausch wieder korrigiert wird.. Ohne Rücktauschung wird die Bedingung A*A^-1 = E nicht erfüllt, wie die Ergebnisse zur Matrix in diesem Thread zeigen.

Vielleicht wollte siser aber gar nicht die inverse Matrix erzeugen, sondern (z.B.) nur zeigen, dass A invertierbar ist? Dann wäre der Rücktausch entbehrlich.

Gruß, Kopfrechner
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Also Zeilenvertauschungen sind völlig problemlos erlaubt.

Statt Zeile A und Zeile B zu vertauschen, kann ich schließlich auch zu B A addieren
(dann haben wir A und A+B), dann die neu entstandene Zeile von A abziehen (dann haben wir -B und A+B) die jetzt erste Zeile mit (-1) multiplizieren (dann haben wir B und A+B) und dann die erste von der zweiten abziehen (dann haben wir B und A).

Folglich lässt sich das Vertauschen von Zeilen auch auf Addition von Zeilen zurückführen, wo sich ja hier wohl alle einig sind, dass es erlaubt ist.
Kopfrechner Auf diesen Beitrag antworten »

Noch einmal anhand der Aufgabe meine Überlegungen und Rechnungen zur Aufgabe, wie sie siser oben formuliert hat:

Gegeben ist , dazu gesucht wird A^{-1}. Simultanumformung ohne Vertauschungen liefert:



Kontrollrechnung ergibt wie gewünscht:



Die Simultanumformung mit der Vertauschung von 1. und 2. Zeile zu Beginn liefert die Matrix



Kontrollrechnung ergibt



Also ist die durch Vertauschung entstandene Matrix A^* nicht die inverse Matrix zu A!

So, das soll es zu diesem Thema von mir gewesen sein.

Gruß, Kopfrechner
Manus Auf diesen Beitrag antworten »

Ohne dir zu nahe treten zu wollen: Du hast dich irgendwo verrechnet...

Das Vertauschen von Zeilen bei simultanen Zeilenumformungen zur Bestimmung der Inversen einer invertierbaren quadratischen Matrix ist definitiv erlaubt.

(Was meine Kontrollrechnung auch bestätigt.)
Kopfrechner Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Manus,

du hast Recht! Freude

Ich habe eben "zu Fuß" noch mal mit Vertauschung gerechnet und es stimmt! Weiß der Kuckuck, wo ich mich da -mehrfach- vertan habe (shame on me). Jetzt ist meine mathematische Welt aber wieder in Ordnung.

Vielen Dank für deine Mühe.

Gruß vom Kopfrechner

P.S. Immerhin habe ich durch diese Aktion kräftig Matrizen in Latex geübt. smile
s1aasomm Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
auch wenn das Thema schon beantwortet wurde, aber ich möchte noch kurz was dazu schreiben.
Die Zeilenvertauschungent ist doch einfach nur schon der erste Schritt zur Berechnung der Inversen. Ausgegangen wird von der gegebenen Matrix. Wenn man erste die Zeilen vertauscht und dann dazu die Inverse sucht, kommt natürlich wieder was anderes raus. Dann hat man aber rechts auch wieder die Einheitsmatrix stehen und nicht schon auch die Vertauschung.
Ich glaub das war hier das Problem mit Excel. Klar, andere Matrix, andere Inverse :-)
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