Äquivalenzrelation zeigen

05.11.2009, 19:15

xtemper

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Äquivalenzrelation zeigen

Hallo,

ich habe eine Abbildung f:X->Y und eine Relation auf X: x~y:<->f(x)=f(y)

X soll eine nichtleere Menge sein. Ich soll zeigen das ~ eine Äquivalenzreation ist

Ich möchtes also Reflexivität, Transivität und Sysmmetrie nachweisen.

Reflexivität:

seien x aus X dann gilt x=y-> x~x

Transivität

seien x,y,z aus X wenn x~y~z stehen, dann gilt auch x~z

Symmetrie

seien x,y aus X dann gilt f(x)->f(y) und f(y)->f(x)

Keine ahnung ob das so stimmt. Ich hoffe es könnte mal bitte einer drüber gucken, wir haben erst wenige solche nachweise geführt.

05.11.2009, 19:19

Airblader

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RE: Äquivalenzrelation zeigen

Zitat:

Original von xtemper
Ich möchtes also Reflexivität, Transivität und Sysmmetrie nachweisen.

Das ist soweit in Ordnung.

Zitat:

Reflexivität:

seien x,y aus X dann gilt x=x-> x~x

Das ist leider völlig falsch. Du sollst ja gerade zeigen, warum x~x ist. Es ist auch unnötig, sich zwei Elemente zu wählen. Du wählst x aus X und zeigst dann, dass x~x sein muss.

Zitat:

Transivität

seien x,y,z aus X wenn x~y~z stehen, dann gilt auch x~z

"x~y~z" ist eine gefährlich und erstmal falsche Schreibweise. Du meinst es so: Seien x,y,z aus X und es gelte x~y und y~z.
Du kannst nun nicht einfach sagen, dass dan x~z gilt. Genau das sollst du doch zeigen, also auch begründen.

Zitat:

Symmetrie

seien x,y aus X dann gilt f(x)->f(y) und f(y)->f(x)

Auch hier: Du musst begründen, warum sowas gilt!

air

05.11.2009, 19:31

xtemper

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RE: Äquivalenzrelation zeigen

Zitat:

Original von Airblader

Das ist leider völlig falsch. Du sollst ja gerade zeigen, warum x~x ist. Es ist auch unnötig, sich zwei Elemente zu wählen. Du wählst x aus X und zeigst dann, dass x~x sein muss.

R: sei x aus X dann folgt x=x und damit folgt x~x so besser?

Zitat:

Original von Airblader
"x~y~z" ist eine gefährlich und erstmal falsche Schreibweise. Du meinst es so: Seien x,y,z aus X und es gelte x~y und y~z.
Du kannst nun nicht einfach sagen, dass dan x~z gilt. Genau das sollst du doch zeigen, also auch begründen.

wie soll ichs dann aufschreiben? doch net so: x~y(und)y~z dann gilt x~z

Wie soll ich das begründen? ich mein wir haben ja nichts gegeben, irgend eine Abbildung und irgendwelche Mengen, wenn ich mir jetzt beispiele nehme bekomme ich wieder nen Strich durch^^

05.11.2009, 19:49

Airblader

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RE: Äquivalenzrelation zeigen

Zitat:

Original von xtemper
R: sei x aus X dann folgt x=x und damit folgt x~x so besser?

Keineswegs. Warum folgt aus x=x denn x~x?

Zitat:

wie soll ichs dann aufschreiben? doch net so: x~y(und)y~z dann gilt x~z

Wieso nicht? Genau so sollte es sein. Allerdings musst du natürlich begründen, warum x~z dann auch gilt.

Sieh es mal so: Nach diesem Beweisschema kann ich ja für alle Relationen zeigen, dass sie Äquivalenzrelationen sind. Einfach sagen, es gilt. Und das wird kaum stimmen, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Wie soll ich das begründen? ich mein wir haben ja nichts gegeben, irgend eine Abbildung und irgendwelche Mengen,

Aber Abbildungen haben ja alle etwas gemeinsam, sonst würde man ihnen keinen Namen geben!
Als Beispiel, was dir bei der Reflexivität hilft: Eine Abbildung bedeutet u.a., dass ein bestimmtes Urbildelement auf maximal ein Bildelement abgebildet wird, d.h. in deinem Fall:
Für x aus X und y1,y2 aus Y gilt: f(x)=y1 und f(x)=y2 impliziert y1=y2, da es sonst keine Abbildung wäre.
Daraus kannst du dir Reflexivität der Relation basteln.

Zitat:

wenn ich mir jetzt beispiele nehme bekomme ich wieder nen Strich durch^^

Und zwar zurecht. Ein Beispiel ist ja kein Beweis. Ich kann ja auch nicht sagen, dass für alle reellen Zahlen x,y gilt, dass x=y ist - auch, wenn das Beispiel x=2 und y=2 offensichtlich dafür sprechen würde Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

05.11.2009, 20:13

xtemper

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würde für R jetzt auf folgendes kommen

x aus X und y1, y2 aus Y somit wäre

f(x)=y1 und f(x)=y2 daraus folgt dann das y1=y2

ich checks einfach net............... unglücklich

unglücklich

geschockt

05.11.2009, 20:17

xtemper

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Original von xtemper
würde für R jetzt auf folgendes kommen

x aus X und y1, y2 aus Y somit wäre

f(x)=y1 und f(x)=y2 daraus folgt dann das y1=y2 und dann y=y und somit y~y und damit wäre ja für jedes x aus X f(x)=f(x)

bin irgendwie voll am verzweifeln gerade...

ich checks einfach net............... unglücklich

unglücklich

geschockt

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05.11.2009, 20:45

xtemper

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sollte eigentlich zu hochschulmathe...=(

05.11.2009, 21:36

Airblader

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Ich erklärs dir mal anhand der Reflexivität:

Du willst zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ stets $\begin{eqnarray*} x \sim x \end{eqnarray*}$ gilt.
Also musst du so anfangen:

Sei $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} f(x) = f(x) \end{eqnarray*}$ (da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Abbildung und $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ damit eindeutig bestimmt ist), dies bedeutet aber gerade $\begin{eqnarray*} x \sim x \end{eqnarray*}$ .
Das bedeutet, dass $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ reflexiv ist.

Und nun wag' dich mal an die Symmetrie! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich gebe dir sogar einen Start:

Seien $\begin{eqnarray*} x,y \in X \end{eqnarray*}$ und es gelte $\begin{eqnarray*} x \sim y \end{eqnarray*}$ , d.h. es ist $\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) \end{eqnarray*}$ .
Was du jetzt nutzen musst ist etwas ganz simples: Die Symmetrie der Gleichheit. Das kriegst du wohl hin, oder? Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

05.11.2009, 21:55

xtemper

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dank dir für deine geduld mit mir=)

okay für die symmetrie habe ich mittlerweile:

seien $\begin{eqnarray*} x,y\in X \end{eqnarray*}$ das bedeutet f(x)=f(y) und genauso f(y)=f(x)

und daraus kann man dann x~y schlussfolgern

05.11.2009, 22:02

Airblader

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Im Kern korrekt, aber achte bitte darauf, ordentlich zu schreiben!

x,y€X bedeuten nicht f(x)=f(y), sondern x~y bedeutet f(x)=f(y) !

Also nicht "Seien x,y€X das bedeutet f(x)=f(y)",
sondern "Seien x,y € X und x~y, das bedeutet f(x) = f(y)".

Die Argumentation danach stimmt.

Nun noch die Transitivität. Die ist ähnlich simpel!

air

05.11.2009, 22:09

xtemper

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Transivität

seien $\begin{eqnarray*} x,y,z\in X \end{eqnarray*}$ dann ergibt sich x~y und y~z , das bedeudet x~z

kann man wie folgt belegen:

f(x)=f(y) und f(y)=f(z) daraus folgt f(x)=f(z)

05.11.2009, 22:23

Airblader

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Zu deinem eigenen "Lern-Wohl" bin ich jetzt mal ganz streng:

Zitat:

Original von xtemper
seien $\begin{eqnarray*} x,y,z\in X \end{eqnarray*}$ dann ergibt sich x~y und y~z ,

Nein, nein und nochmals nein!
Ich habe nun mehrfach erklärt, was daran falsch ist, also versuche bitte auch, diesen Fehler nicht ständig zu machen!

Abgesehen davon ist die Argumentation in Ordnung.

air

05.11.2009, 22:29

xtemper

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Ja ich weiß das das net so hinhaut aber es hat mir bisher noch niemand gesagt wie man dies richtig formulieren könnte.

05.11.2009, 22:45

Airblader

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Doch, ich. Überliest du das nun eigentlich mit Absicht verwirrt

verwirrt

air

05.11.2009, 22:59

xtemper

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ich versuchs nochmal:

seien $\begin{eqnarray*} x,y,z\in X \end{eqnarray*}$ entsteht x~y(und)y~z und x~z

dies bedeutet...

wenn das jetzt immernoch falsch ist weiß ich net wo du es versteckt hattest=)

einmal hast du geschrieben

Zitat:

Im Kern korrekt, aber achte bitte darauf, ordentlich zu schreiben!

x,y€X bedeuten nicht f(x)=f(y), sondern x~y bedeutet f(x)=f(y) !

Also nicht "Seien x,y€X das bedeutet f(x)=f(y)",
sondern "Seien x,y € X und x~y, das bedeutet f(x) = f(y)".

Die Argumentation danach stimmt.

Nun noch die Transitivität. Die ist ähnlich simpel!

air

und dann nochmal

Zitat:

Wieso nicht? Genau so sollte es sein.

in bezug auf das: wie soll ichs dann aufschreiben? doch net so: x~y(und)y~z dann gilt x~z

05.11.2009, 23:08

Airblader

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Okay, nochmal ganz langsam:

Dein Fehler ist eine irrtümliche Kausalität. Dass x,y aus X stammen bedingt nicht, dass x in Relation zu y steht. Letzteres ist eine weitere Annahme bzw. Voraussetzung, keine Folgerung!

Statt "Seien x,y aus X, das bedeutet x~y [..]" sollte es also eher heißen "Seien x,y aus X und es gelte x~y".

Unterschied klargeworden?

air

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