Konvergenz

05.11.2009, 19:27

janlausitz

Konvergenz

hallo,
Ich möchte folgende Aufgabe lösen und komm' irgendwie nicht weiter. Die Aufgabe lautet:
Man soll mittels der Def. von Konvergenz von Folgen zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to oo} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n-1)^2} \end{eqnarray*}$ = 0.
Also die Def. von Konvergenz besagt dass es für alle e>0 ein N € Natürliche Zahlen für das gilt dass wenn n>N [an -a] < e also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n-1)^2} \end{eqnarray*}$ < e Ich hab mir schon überlegt, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n-1)^2} \end{eqnarray*}$ eine Teilfolge von 1/n ist die ja gegen Null konvergiert und deswegen auch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n-1)^2} \end{eqnarray*}$ gegen Null konvergieren muss.
Ab hier komm' ich nicht mehr weiter.
Ich hoffe ihr könnt mir helfen
jan

05.11.2009, 19:36

Cel

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RE: Konvergenz

Zitat:

Original von janlausitz
Also die Def. von Konvergenz besagt dass es für alle e >0 ein N € Natürliche Zahlen für das gilt dass wenn n>N [an -a] < e also $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n-1)^2} \end{eqnarray*}$ < e

Eigentlich stehen um $\begin{eqnarray*} a_n - a \end{eqnarray*}$ Betragsstriche, aber a_n ist hier sowieso immer größer als 0, also kannst du sie auch weglassen. Jetzt weiter, löse deine Ungleichung nach n auf, und dann hast du es doch schon. Es steht dann da so etwas: n > ... und dann weisst du, wie groß du n wählen musst, damit a_n - a kleiner als e ist.

05.11.2009, 19:45

janlausitz

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Also gilt dann für alle n>N mit N= $\begin{eqnarray*} \sqrt{(1/e)} \end{eqnarray*}$ +1 dass die Folgenglieder an in der e-Umgebung liegen?
Ist das auch ein richtiger Beweis?

05.11.2009, 19:53

janlausitz

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Angenommen die Folge an lautet an:= $\begin{eqnarray*} \frac{(n+2)}{(n+3)} \end{eqnarray*}$ und es gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to oo} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{(n+2)}{(n+3)} \end{eqnarray*}$ = 1
kann ich dass dann mittels der Def. von Konvergenz so zeigen. Betrag( $\begin{eqnarray*} \frac{(n+2)}{(n+3)} \end{eqnarray*}$ -1) < e <--> Betrag( $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{(n+3)} \end{eqnarray*}$ ) < e
also für alle n > N mit N=-2

05.11.2009, 20:05

Cel

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Zitat:

Original von janlausitz
Also gilt dann für alle n>N mit N= $\begin{eqnarray*} \sqrt{(1/e)} \end{eqnarray*}$ +1 dass die Folgenglieder an in der e-Umgebung liegen?
Ist das auch ein richtiger Beweis?

Also, das stimmt. Was du bei der anderen Folge gemacht hast, verstehe ich nicht so ganz, aber da könnte de l'Hospital helfen ...

05.11.2009, 21:46

janlausitz

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Aber ich soll das doch nicht mit de L'Hospital sondern mit der Def. von Konvergenz lösen.
Ich hab' deswegen für N=-2, da doch e>0 sein muss und -1 bereits negativ ist. Falls ich nun für n eine Zahl > -2 einsetze, wird der Gesamtterm negativ und ist definitiv < e. Oder?

05.11.2009, 22:11

nane

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Zitat:

Original von janlausitz
Angenommen die Folge an lautet an:= $\begin{eqnarray*} \frac{(n+2)}{(n+3)} \end{eqnarray*}$ und es gilt: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to oo} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{(n+2)}{(n+3)} \end{eqnarray*}$ = 1
kann ich dass dann mittels der Def. von Konvergenz so zeigen. Betrag( $\begin{eqnarray*} \frac{(n+2)}{(n+3)} \end{eqnarray*}$ -1) < e <--> Betrag( $\begin{eqnarray*} \frac{-1}{(n+3)} \end{eqnarray*}$ ) < e
also für alle n > N mit N=-2

Hallo janlausitz!

Ein grobes Abschätzen reicht doch völlig aus. Desweiteren wählt man ein e>0 beliebig aus IR und muß dann ein n_0 angeben könne, so dass für alle n>n_0 |a_n-a|<e gilt.
In deinem Fall könnte die Abschätzung so aussehen.

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{n+2}{n+3}-1\right|=\left|-\frac{1}{n+3}\right|=\frac{1}{n+3}<\frac{1}{n}<\varepsilon \end{eqnarray*}$

Der Beweis für den Korrektor sähe dann aber so aus:

Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ beliebig gewählt und $\begin{eqnarray*} n_0>\frac{1}{\varepsilon} \end{eqnarray*}$ . Dann gilt für $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \left|\frac{n+2}{n+3}-1\right|=\left|-\frac{1}{n+3}\right|=\frac{1}{n+3}<\frac{1}{n}<\frac{1}{n_0}<\varepsilon \end{eqnarray*}$

Somit konvergiert $\begin{eqnarray*} (a_n)\text{ gegen }a=1 \end{eqnarray*}$ .

mFg nane

05.11.2009, 22:17

tibhar

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$\begin{eqnarray*} |\frac{n+2}{n+3}- 1| < \epsilon \Rightarrow |\left(n+2\right)-\left(n+3\right) | < \epsilon\left(n+3\right) \Rightarrow |-1| < \epsilon\left(n+3\right)\Rightarrow |\frac{-1}{\epsilon}|<\left(n+3\right)\Rightarrow n>| \frac{-1}{\epsilon}-3| \end{eqnarray*}$
also muss $\begin{eqnarray*} n>| \frac{-1}{\epsilon}-3 \end{eqnarray*}$ gewählt werden

05.11.2009, 22:25

janlausitz

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Vielen lieben Dank für eure Antworten. Ihr habt mir wirklich sehr weitergeholfen Tanzen

08.11.2009, 20:28

janlausitz

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Hallo nochmal Wink

Ich wollt' noch mal bei der ersten Aufgabe nachhaken.
Also ich soll mittels der Definition für Konvergenz von Folgen zeigen dass
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to oo} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n-1)^2} \end{eqnarray*}$ = 0
Ich wollt' das jetzt dadurch zeigen indem ich den Term nach unter abschätze. ALso ich weiß, dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n-1)^2} \end{eqnarray*}$ < $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n-1)} \end{eqnarray*}$ Jedoch weiss ich jetzt nicht genau wie ich das dann weiter nach unten abschätzen kann sodass dann 1/n dasteht.
Hoffe ihr könnt mir noch einmal helfen.
Gruß
Jan

09.11.2009, 09:16

klarsoweit

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Wie wäre es mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{(n-1)} \leq \frac{1}{n - \frac n 2} \end{eqnarray*}$ ?

Die Abschätzung stimmt für n >= 2.

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