Konvergenz und Grenwert von Folgen

05.11.2009, 20:40	axiom_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz und Grenwert von Folgen Hallo allerseits, ich weiss leider nicht, wie ich bei der Folge $\begin{eqnarray} x_n = \sqrt[n] {n^2} \end{eqnarray}$ die Konvergenz mit Epsilon-Kriterium beweisen soll. Ich wäre gür jede Antwort sehr dankbar. Ich habe auch schon ein allgemeiner Ansatz, aber weiss leider dazu auch nicht den genauen Grenzwert a. $\begin{eqnarray} \| x_n - a\| < \epsilon \end{eqnarray}$ Viele Grüße
05.11.2009, 20:46	axiom_09	Auf diesen Beitrag antworten »
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06.11.2009, 08:18	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Mußt du das mit dem Epsilon-Kriterium beweisen? Siehe auch: Konvergenz + Grenzwert
06.11.2009, 20:13	axiom_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ja es muss leider mit epsilon-Kriterium bewiesen werden. Deshalb weiss ich nicht, wie ich das machen soll. Ausserdem, was meinst du mit, dass der Beitrag von Jacques ausreichen würde?
06.11.2009, 21:17	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
1. Tipp: $\begin{eqnarray} n^{1/n} \end{eqnarray}$ konvergiert gegen 1. Damit konvergiert auch $\begin{eqnarray} n^{2/n} \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} 1 \cdot 1 = 1 \end{eqnarray}$ 2.Tipp: Falls du zeigst, dass $\begin{eqnarray} n^{1/n} \end{eqnarray}$ eine fallende Folge ist, so genügt es zu zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ gilt: Es existiert ein $\begin{eqnarray} N \in \mathbb N \end{eqnarray}$ , s.d. für alle n>N gilt, dass $\begin{eqnarray} n^{1/n} < 1 + \epsilon \end{eqnarray}$
06.11.2009, 23:41	axiom_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Heisst es, dass ich vorher Monotoniebeweis machen und dann noch die Bedingung mit $\begin{eqnarray} \|\sqrt[n]{n} -1\|< \epsilon \end{eqnarray}$ zeigen muss?
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07.11.2009, 07:57	Lord Pünktchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du den Monotonie-beweis angehst, so sollte der Beweis für das epsilon-kriterium sich quasi von alleine rechnen. Probiers einfach mal Ich geb einfach nocheinen Tipp. $\begin{eqnarray} (1+ \frac {x} {n})^n > e^x \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\geq 3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (1 + \frac {x} {n})^{n-1} < e^x \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\geq 3 \end{eqnarray}$
08.11.2009, 00:32	axiom_09	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Lord Pünktchen, ich kann dir leider irgendwie nicht ganz folgen. Kannst du mir den nicht den ganzen Beweis einfachmal vormachen?
08.11.2009, 05:59	gonnabphd	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wär's mit folgendem? $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{a_1a_2...a_n}=\lim_{n \to \infty} a_n \end{eqnarray*}$ Jetzt nur noch a_k passend definieren und deren Grenzwert nachweisen. Weiss halt nicht, ob das wirklich die Anforderungen erfüllt... Wahrscheinlich nicht.

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