Injektivität/Surjektivität

05.11.2009, 20:42

belllaaa

Injektivität/Surjektivität

Eine Abbildung $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R \Rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit den Eigenschaften weder injektiv noch surjektiv kann ja z.B.diese sein $\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x) \end{eqnarray*}$ .
Meine Frage ist jetzt,warum und woran erkenne ich das. verwirrt

05.11.2009, 20:57

Mazze

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Wie sind denn Surjektiv und Injektiv definiert? Schreibs hin und überleg dir was da beim Sinus schief geht.

05.11.2009, 21:08

belllaaa

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Die Injektivität besagt,dass jedes Element der Zielmenge höchstens einmal als Funktionswert angenommen wird.
Die Surjektivität besagt,dass jedes Element der Zielmenge mindestens einmal als Funktionswert angenommen wird,aber weiter komme ich auch nicht traurig

05.11.2009, 21:14

Mazze

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Diese Beschreibungen sind zwar richtig helfen dir aber nicht viel. Die Formalen Definition oder eine präzisere Formulierung wären viel sinnvoller.

Injektiv :

Du sagst ein Element des Bildbereiches darf höchstens einmal als Funktionswert angenommen werden. Genauer : Zu jedem Element z des Zielbereiches gibt es höchstens ein Element x des Urbildbereiches mit sin(x) = z. Das ist natürlich falsch. Es gibt zu jedem z des Bildes sogar unendlich viele verschiedene x , schliesslich ist der Sinus periodisch.

Surjektiv :

Hier passt die Beschreibung besser. Schau Dir doch mal das Bild vom Sinus an. Welche y-Werte erreicht er denn ? Welche y-Werte haben kein Urbild?

05.11.2009, 21:33

belllaaa

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tut mir leid,ich steh soo aufm Schlauch...also die y-Achse wird bei 0 geschnitten...

05.11.2009, 21:38

Mazze

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Das hat mit dem Ganzen doch nichts zu tun. Ich habe dich gefragt welche y-Werte er erreicht, nicht wo er die y-Achse schneidet. Scheinbar hast Du das Konzept von Surjektiv und Injektiv noch nicht verstanden. Vielleicht solltest Du es dir an einfacheren Funktionen klar machen. (Auch wenns beim Sinus mehr als klar ist)

05.11.2009, 21:42

belllaaa

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y-Werte 2 erreicht die Sinusfunktion

05.11.2009, 21:47

Mazze

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Die Sinusfunktion erreicht unendlich viele y-Werte, aber eben nicht alle. Ich schreibs Dir mal auf.

Surjektiv: Der Sinus ist nicht Surjektiv da $\begin{eqnarray*} sin(x) \in [-1,1] \end{eqnarray*}$ gilt. Der Sinus nimmt nur Werte zwischen 1 und -1 an was man eindeutig im Bild sieht. Alle anderen Werte nimmt er nicht an. Daher ist er nicht Surjektiv, weil alle Werte die nicht ziwischen -1 und 1 liegen gar nicht getroffen werden.

Injektiv : Der Sinus hat die Periode 2Pi (Schulwissen). Das heisst für alle x gilt

$\begin{eqnarray*} \sin(x) = \sin(x + 2\pi) \end{eqnarray*}$

Wenn man sich jetzt die Definition der Injektivität anschaut :

f heisst injektiv wenn $\begin{eqnarray*} f(x) = f(y) \Rightarrow x = y \end{eqnarray*}$ gilt, für alle x,y. So, wenden wir das für den Sinus an, wie ich schon sagte gilt

$\begin{eqnarray*} \sin(x) = \sin(x + 2\pi) \end{eqnarray*}$ damit der Sinus injektiv wäre müsste dann $\begin{eqnarray*} x = x + 2\pi \end{eqnarray*}$ folgen. Was falsch ist. Damit ist der Sinus auch nicht injektiv.

05.11.2009, 21:51

belllaaa

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Danke

06.11.2009, 00:00

Tawnos

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Darf ich an der Stelle nochmal einhaken?

Ich brauch das einfach auch nochmal für mein Verständnis ^^
Wenn nun beim sinus aber ein Intervall von $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ vorgegeben wäre, also der Definitionsbereich darauf eingeschränkt, dann wäre der sinus wieder surjektiv, nicht wahr?

Womit ich persönlich immernoch Probleme habe ist das formelle und saubere beweisen der Surjektivität, auch wenn ich mittlerweile sehe welche Funktion surjektiv ist und welche nicht.

06.11.2009, 03:17

Seren

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Zitat:

Original von Tawnos
Ich brauch das einfach auch nochmal für mein Verständnis ^^
Wenn nun beim sinus aber ein Intervall von $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ vorgegeben wäre, also der Definitionsbereich darauf eingeschränkt, dann wäre der sinus wieder surjektiv, nicht wahr?

Ja, weil dann ja jeder Punkt aus der Definitionsmenge getroffen wird.

06.11.2009, 03:22

Jacques

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Hallo,

Zitat:

Original von Tawnos

Wenn nun beim sinus aber ein Intervall von $\begin{eqnarray*} [-1,1] \end{eqnarray*}$ vorgegeben wäre, also der Definitionsbereich darauf eingeschränkt, dann wäre der sinus wieder surjektiv, nicht wahr?

Wenn die Zielmenge auf dieses Intervall beschränkt wäre, dann wäre die Funktion surjektiv.

Also

$\begin{eqnarray*} f\colon\, \mathbb{R} \longrightarrow [-1; +1] \qquad x \longmapsto \sin(x) \end{eqnarray*}$

ist surjektiv.

Zitat:

Original von Tawnos

Womit ich persönlich immernoch Probleme habe ist das formelle und saubere beweisen der Surjektivität, auch wenn ich mittlerweile sehe welche Funktion surjektiv ist und welche nicht.

Es gibt sicherlich keinen allgemeinen Ansatz. Bei einfachen Funktionen kann man die Funktionsvorschrift nach x auflösen, bei komplizierteren Funktionen kann man z. B. den Zwischenwertsatz benutzen.

06.11.2009, 08:41

Tawnos

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Zitat:

Original von Jacques

Zitat:

Es gibt sicherlich keinen allgemeinen Ansatz. Bei einfachen Funktionen kann man die Funktionsvorschrift nach x auflösen, bei komplizierteren Funktionen kann man z. B. den Zwischenwertsatz benutzen.

Ah okay, ich habe nämlich bisher auch gehört, dass ich für die Surjektivität einfach die Injektivität der Inversen Funktion beweisen kann, das wäre ja fast gleichbedeutend mit dem umstellen nach x.

Das Problem war bisher halt nur, dass wir meist keine einfachen Funktionen hatten und ich von einem Zwischenwertsatz noch nix gehört habe.

Ich hab ihn mir eben mal auf Wikipedia angeschaut und halt durchgelesen etc. kommt mir nicht bekannt vor. Ich muss mir mal nen höheres Semester suchen und fragen wie die das machen.

Aber danke vielmals (:

06.11.2009, 13:20

Jacques

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Zitat:

Original von Tawnos

Ah okay, ich habe nämlich bisher auch gehört, dass ich für die Surjektivität einfach die Injektivität der Inversen Funktion beweisen kann, das wäre ja fast gleichbedeutend mit dem umstellen nach x.

Das ist so nicht richtig. Zum einen braucht gar keine inverse Funktion zu existieren (es geht ja nur um Surjektivität, nicht um Bijektivität), und zum anderen ist im Fall der Existenz die Injektivität in jedem Fall gegeben. Sonst wäre die Ausgangsfunktion gar keine Funktion. Man muss vielmehr zeigen, dass die Umkehr-Relation linkstotal ist.

Mir ist aber doch noch ein Ansatz eingefallen:

Eine Funktion f von A nach B ist dann surjektiv, wenn es eine Funktion g von B nach A gibt, sodass f o g die identische Funktion auf B ergibt.

Diese Funktion g konstruiert man, indem man bei jedem Bild aus B eins der zugehörigen Urbilder von f auswählt.

Zum Beispiel: Die Funktion

$\begin{eqnarray*} f\colon\, \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}_{\geqq 0} \qquad x \longmapsto x^2 \end{eqnarray*}$

ist surjektiv, denn wenn man

$\begin{eqnarray*} g\colon\, \mathbb{R}_{\geqq 0} \longrightarrow \mathbb{R} \qquad x \longmapsto \sqrt{x} \end{eqnarray*}$

wählt, erhält man

$\begin{eqnarray*} f \circ g \colon\, \mathbb{R}_{\geqq 0} \longrightarrow \mathbb{R}_{\geqq 0} \qquad x \longmapsto {\sqrt{x}}\,^2 = x \end{eqnarray*}$

Also die Identität auf der Zielmenge von f.

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