Majorantenkriterum (Beispiel)

05.11.2009, 22:28

snooc

Majorantenkriterum (Beispiel)

Hallo Leute!

Ich versuche gerade mich in der Analysis zurecht zu finden, und das trotz mangelnder Vorkenntnisse.

Nun gut, ich komme gleich zu Sache.

\sum_{k=1}^\infty ~\frac{5n^2}{n^4+1}

Ich soll diese folge auf Konvergenz untersuchen.
Mir sind die folgende Kriterien bekannt:

- Quotientenkriterium
- Wurzelkriterium
- Majoranten- Minorantenkriterium
- Verdichtungssatz
- Leibnizkriterium
- CAUCHY Kriterium

Mein Problem ist, dass ich nicht sehe welches Kriterium anzuwenden ist.
Nun gut, Wurzel- und Leibnizkriterium fallen weg. Ich tendiere dazu das Majorantenkriterium anzuwenden aufgrund der Theorie die ich 'glaube' zu verstehen. Doch selbst wenn ich mich nun für ein Kriterium entscheide, wüsste ich nicht wie man es dann wirklich anwendet.

Könnte mir jemand dieses Beispiel zeigen, und mir evtl. essenzielle Tipps geben, Tipps die mir den Einstieg etwas erleichtern könnten.

Danke für die Hilfe im Vorraus.

05.11.2009, 22:34

snooc

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Formel... ^^

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty ~\frac{5n^2}{n^4+1} \end{eqnarray*}$

06.11.2009, 12:03

snooc

Auf diesen Beitrag antworten »

*räusper*

06.11.2009, 12:06

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht so ungeduldig...

Das Majorantenkriterium ist ne gute Idee. Mal so ganz unmathematisch: Wie verhält sich der Summand denn für große n?

07.11.2009, 14:06

snooc

Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, ich verstehe leider die Frage nicht ^^

Oder meinst du die Definition des Minorantenkriteriums im konkreten?

07.11.2009, 15:20

snooc

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Frage, könnte ich das evtl. so anschreiben:

$\begin{eqnarray*} \frac{5n^2}{n^4 + 1} \leq \frac{5n^2}{n^4(1+ \frac{1}{n^4})} \\ \leq \frac{5}{n^2 + \frac{1}{2}} = \frac{1}{n^2} \\ \text{und da ja} \\ \sum_{k=1}^n~\frac{1}{n^2} \text{ konvergiert müsste die Aussage dass} \\ \frac{5n^2}{n^4 + 1} \text{ konvergiert richtig sein, oder?} \end{eqnarray*}$

07.11.2009, 15:40

Cel

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \frac{n^2}{n^4 + 1} = \frac{5n^2}{n^4(1+ \frac{1}{n^4})} = \frac{5}{n^2 + \frac{1}{n^2}} \leq \frac{5}{n^2} \leq \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

Schätz das mal so ab, dann klappt es in jedem Fall ...

07.11.2009, 15:50

snooc

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist ja so ähnlich wie meine Rechnung. Also kann ich das so machen und das [latex}\frac{1}{2}[/latex] im Nenner noch wegfallen lassen?

Wie würde das Ganze hier aussehen?

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{\sqrt[3]{n^2 - 1} } \end{eqnarray*}$

Um ehrlich zu sein weiß ich auch nicht genau wie ich das n^2 aus der Wurzel rausheben darf.

$\begin{eqnarray*} \text{Hier ist es mir nochklar} \\ \sqrt{n^2 - a} = n^2 * \sqrt{1 - \frac{a}{n^2}} \\ \text{Aber bei einer Wurzel der dritten oder so hab ich keine Ahnung :S } {\sqrt[3]{n^2 - 1} } = ? \end{eqnarray*}$

07.11.2009, 17:55

mathinitus

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von snooc
$\begin{eqnarray*} \text{Hier ist es mir nochklar} \\ \sqrt{n^2 - a} = n^2 * \sqrt{1 - \frac{a}{n^2}} \\ \end{eqnarray*}$

Glaube nicht, dass das stimmt. Setze mal für a=0 ein. Dann bekommst du $\begin{eqnarray*} n=n^2 \end{eqnarray*}$

07.11.2009, 19:10

snooc

Auf diesen Beitrag antworten »

aiiiiii stimmt, das geht so nicht!
Sorry vergesst das wieder Big Laugh

Naja ich frag mich aber dennoch ob

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~\frac{1}{\sqrt[3]{n^2 - 1}} \end{eqnarray*}$

konvergiert oder dievergiert und vorallem warum. Bei meiner Angabe steht sie wäre divergent und die Minorante wäre $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ , aber 1. weiß ich nicht wie ich darauf kommen könnte, bzw. is mir die Antwort zu wässrig.

Neue Frage »

Antworten »

Majorantenkriterum (Beispiel)

Verwandte Themen