Vollständige Induktion bei Ungleichung

05.11.2009, 23:57	Purpleyeahh	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion bei Ungleichung Hallo liebes Board, zerbrech mir jetzt schon einige Tage den Kopf über folgender Aufgabe: $\begin{eqnarray} (1+ x)^{n} \geq 1+\frac{n^{2} }{4}x^{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x\in \mathbb R \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} x\geq 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (1+ x)^{n} \end{eqnarray}$ entspricht ja auch der Summe $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}a^{n-k}b^{k} \end{eqnarray}$ Der Beweis sollte wohl über vollständige Induktion stattfinden und der Induktionsanfang mit n=2 ist ja auch noch kein Problem und ergibt auch eine brauchbare Lösung. Nun sollte ich das Ganze ja noch für n+1 nachweisen, damit es bewiesen ist, nur das will eben nicht klappen. Hab dann auch schon daran gedacht es über die Differenzen zu bestimmen, also: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n+1}~\begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix}a^{n+1-k}b^{k}-\sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}a^{n-k}b^{k}\geq 1+\frac{(n+1)^{2} }{4}x^{2}-1+\frac{n^{2} }{4}x^{2} \end{eqnarray*}$ Weil, wenn dies stimmen würde, müsste der Beweis doch auch erbracht sein, oder? Aber auch beim 2. Ansatz komm ich nicht wirklich weiter. Also hoffe ich auf Eure Hilfe und bedanke mich schon mal im Voraus. Greets Roby
06.11.2009, 01:12	Abakus	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion bei Ungleichung Hallo! Kompliziert gedacht. Was passiert, wenn du einfach nur folgendes betrachtest: $\begin{eqnarray} (1 + x)^n = \sum_{k=0}^n~\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot 1^{n-k} \cdot x^{k} \ge 1 + \binom{n}{2} \cdot x^2 \end{eqnarray}$ Grüße Abakus

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