Beweis eines Ausdrucks mit Eulerscher Formel

06.11.2009, 10:05

Zonkii

Beweis eines Ausdrucks mit Eulerscher Formel

Guten Morgen,

ich versuche gerade meine Matheübung zu lösen. Ich hänge allerdings an einer Aufgabe. Und zwar ist due Aufgabe folgende:

Sei $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . In der Vorlesung haben wir die Eulersche Formel $\begin{eqnarray*} e^{ix}=sin(x)+i\cdot cos(x) \end{eqnarray*}$ kennengelernt.

Ich habe die Aufgabe als Bild angefügt, ich habe die Querstriche mit dem Formeleditor nicht hin bekommen.

Ich versthe die Aufgabenstellung nicht ganz, ich könnte einen Ansatz gebrauchen. Danke!

06.11.2009, 10:08

tmo

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RE: Beweis eines Ausdrucks mit Eulerscher Formel

Zitat:

Original von Zonkii
Ich habe die Aufgabe als Bild angefügt, ich habe die Querstriche mit dem Formeleditor nicht hin bekommen.

1. Bild ist nicht da.

2. $\begin{eqnarray*} \bar a \overline a \end{eqnarray*}$

06.11.2009, 10:19

Zonkiii

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Die Aufgabe wurde doch nicht angehängt. Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} exp(\bar z) = \overline e \overline x \overline p \overline ( \overline z \overline ) \end{eqnarray*}$
Ich darf die Eigenschaft cos(-x) = cos(x) und sin(-x)=-sin(x) benutzen, ich komme auf keinen Ansatz.

Danke an tmo, hab das nicht gefunden!

06.11.2009, 10:26

tmo

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Du meinst wohl $\begin{eqnarray*} \exp(\overline z) = \overline{\exp(z)} \end{eqnarray*}$ .

Setze $\begin{eqnarray*} z = a+bi \end{eqnarray*}$ und wende auf $\begin{eqnarray*} \exp(\overline z) \end{eqnarray*}$ doch einfach mal die Eulersche Formel (die du übrigens falsch hingeschrieben hast) an.

06.11.2009, 10:46

zonkiii

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Ich habe jetzt für $\begin{eqnarray*} \exp(\overline z) \end{eqnarray*}$ die Eulersche Formel angewendet und kam auf folgendes: $\begin{eqnarray*} \exp(\overline z)= a - b\cdot i = cos(x) - i \cdot sin(x) \end{eqnarray*}$

Hast du so etwas gemeint?

06.11.2009, 11:27

tmo

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Es ist doch

$\begin{eqnarray*} \exp(\overline z) = \exp(a-bi) = \exp(a) \exp(i(-b)) \end{eqnarray*}$

Und jetzt kannst du die Eulersche Formel anwenden. Und da kommt dann kein x mehr vor. Denn hier ist dein x doch -b

06.11.2009, 11:46

Zonk

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Jetzt habe ich kein x mehr im exponent, muss ich nun analog hierzu:

$\begin{eqnarray*} \exp(\overline z) = \exp(a-bi) = \exp(a) \exp(i(-b) = exp(cos (a)) exp(i(sin(-b))) = exp (cos(a)-i(sin(b))) \end{eqnarray*}$

Das selbe für $\begin{eqnarray*} \overline{\exp(z)} \end{eqnarray*}$ machen und versuchen einen ähnlichen Ausdruck durch Umformung zu erhalten?

06.11.2009, 12:02

Zonk

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Ich dachte mir das so, meine Frage ist nun ob ich das mit dem cosinus richtig gemacht habe? Habe ich damit gezeigt, dass beide Ausdrücke gleich sind?

$\begin{eqnarray*} \overline {\exp(z)} =\overline {\exp(a+bi)} =\overline { \exp(a) \exp(i(b))} = \overline {exp(cos (a)) exp(i(sin(b)))} = exp(cos(-a))exp(i(sin(-b))) = exp(cos (a)exp(i(-sin(b))) =exp (cos(a)-i(sin(b))) \end{eqnarray*}$

EDIT: Latex verbessert, keine Zeilenschaltungen (klarsoweit)

06.11.2009, 12:03

tmo

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Du wendest die Eulersche Formel immer noch falsch an.

$\begin{eqnarray*} \exp(a) \end{eqnarray*}$ ist doch einfach nur eine reelle Zahl. Die lässt du einfach davor stehen.

Und auf $\begin{eqnarray*} \exp(i(-b)) \end{eqnarray*}$ musst du die Eulersche Formel anwenden. Einfach jedes x konsequent durch -b ersetzen.

06.11.2009, 12:20

Zonk

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in: $\begin{eqnarray*} exp(i(-b) \end{eqnarray*}$
habe ich jetzt die euler Formel eingesetzt und habe folgendes erhalten:
$\begin{eqnarray*} exp(cos(-b))+ i* sin(-b)) \end{eqnarray*}$

Du hast gesagt, dass ich $\begin{eqnarray*} \exp(a) \end{eqnarray*}$ einfach davor stehen lassen kann, somit erhalte ich folgenden Ausdruck:

$\begin{eqnarray*} \exp(a)exp(cos(-b))+ i* sin(-b)) \end{eqnarray*}$

Bin ich jetzt auf dem richtigen Weg?

Daraus kann ich jetzt:

$\begin{eqnarray*} \exp(a)exp(cos(b))- i* sin(b)) \end{eqnarray*}$

machen, aber was kann ich jetzt damit machen?

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