AWP Lösung bekannt - Lösungsweg??

06.11.2009, 11:56

Füsika

AWP Lösung bekannt - Lösungsweg??

halli hallo,
ich habe das Problem, dass ich eine Lösung der folgenden Aufgabe kenne, die die Bedingungen erfüllt, aber nicht weiss, wie ich den Lösungsweg mathematisch korrekt formulieren muss.

Kann mir da Jemand helfen?

Aufgabenstelung:
Finden Sie eine Lösung des Anfangswertproblems:
$\begin{eqnarray*} x_{1}'=x_{2}, x_{2}'=-x_{1}; x_{1}(0)=1, x_{2}(0)=0 \end{eqnarray*}$

meine gefundene Lösung:
$\begin{eqnarray*} x_{1}=cos(t), x_{2}=--sin(t); x_{1}'=-sin(t), x_{2}'=--cos(t) \end{eqnarray*}$

mit freundlichen Grüßen und Danke im vorraus

06.11.2009, 12:24

giles

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Hallo,

unterschätze nie die Macht einer geratenen Lösung! Es ist schon mathematisch korrekt, wenn du sagst "Behauptung: Diese Funktionen lösen die Gleichungen" und dann als Beweis ableitest und zeigst dass sie es tun (Vorsicht: bei deiner Lösung hat sich der Fehlerteufel eingeschlichen!). Nach dem Existenz und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf (prüfen!) ist dann alles in Ordnung.
Das Problem hier ist, dass die Gleichungen gekoppelt sind. Wir haben seiner Zeit gelernt, dass man die Matrix, welche die Kopplung beschreibt (im schlechtesten Fall über $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ ) triagonalisieren muss um das System erst mal von unten nach oben zu lösen. Danach aber wieder auf die Standardbasis zurück transformieren. Du siehst man kann sich bei sowas auch einen Wolf rechnen.

MfG

06.11.2009, 12:37

vektorraum

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RE: AWP Lösung bekannt - Lösungsweg??
Offensichtlich handelt es sich um ein System erster Ordnung mit Koeffizientenmatrix A, die konstante Einträge hat, also lautet dein AWP

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_1' \\ x_2' \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix},~~~x(0)=\begin{pmatrix}1\\0 \end{pmatrix}. \end{eqnarray*}$

Um das "rechnerisch" zu machen (und ggf. nicht durch hinsehen) bietet sich die Eigenwerttheorie an. Habt ihr das schon gehabt?

Dann könntest du die Eigenwerte von A bestimmen und zugehörige Eigenvektoren und so fort.

09.11.2009, 14:43

Füsika

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Hi,
Vielen Dank für eure Antworten!
Ich habe mir jetzt folgenden Lösungsweg überlegt.

@vektorraum: Ich bin mir nicht ganz sicher, ob wir das benutzen dürfen deshalb habe einen anderen Lösungsweg verwendet.
@giles: Das hatte ich mir erhofft. Reicht das, was ich unten gemacht habe um die Lösung zu beweisen oder muss ich noch mehr machen? (stichwort: Picard-Lindelöf)

$\begin{eqnarray*} x_{1}(t) = A_{1}sin(t) + B_{1}cos(t) \\ x_{2}(t) = A_{2}sin(t) + B_{2}cos(t) \\ \end{eqnarray*}$
mit
$\begin{eqnarray*} x(0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
folgt:

$\begin{eqnarray*} x_{1}(0) = A_{1}sin(0) + B_{1}cos(0) = B_{1} = 1 \\ x_{2}(t) = A_{2}sin(t) + B_{2}cos(t) = B_{2} = 0 \\ \end{eqnarray*}$

außerdem gilt:

$\begin{eqnarray*} x'_{1} & = & A_{1}cos(t) - B_{1}sin(t) = A_{1}cos(t)-sin(t) = x_{2} \\ x'_{2} & = & A_{2}cos(t) = -x_{1}(t) \\ \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} x_{1}(t) = -A_{2}cos(t) = A_{1}sin(t)+cos(t) \\ \end{eqnarray*}$

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} A_{1} = 0 \\ A_{2} = -1 \\ x_{1}(t) = cos(t) \\ x_{2}(t) = -sin(t) \end{eqnarray*}$

Zum Schluss habe ich das Ganze noch in die Anfangsbedingungen eingesetzt und damit die Lösung überprüft. Ist das so korrekt oder fehlt da noch etwas?

09.11.2009, 16:50

vektorraum

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Zitat:

Original von Füsika
@vektorraum: Ich bin mir nicht ganz sicher, ob wir das benutzen dürfen deshalb habe einen anderen Lösungsweg verwendet.

Du solltest vielleicht schon ein Wort darüber verlieren, warum das die Lösung ist (evtl. die einzige).

Falls ihr lineare Dgls zweiter Ordnung hattet, dann würde sich auch darüber ein Weg anbieten.

09.11.2009, 18:15

brocki

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Hallo Allerseits,
ich sitze zusammen mit "Füsika" im Kurs und versuche mit ihm gemeinsam die Aufgabe zu lösen. Daher bringe ich mich hier mal kurz ein. Ich hoffe das ist in Ordnung.

@vektorraum: Wir dachten, dass wir mit dem Lösungsweg gezeigt hätten, dass dies eine Lösung ist. Reicht es nicht aus, zu sagen:

Behauptung:
$\begin{eqnarray*} x_{1} = A_{1}sin(t) + B_{1}cos(t) x_{2} = A_{2}sin(t) + B_{2}cos(t) \end{eqnarray*}$
löst die DGL.
Dann die konstanten zu bestimmen und das ganze dann mit den Anfangsbedingungen zu überprüfen um sagen zu können, dass die Behauptung stimmt?

Was meinst du genau mit:

Zitat:

Du solltest vielleicht schon ein Wort darüber verlieren, warum das die Lösung ist (evtl. die einzige).

Genau das haben wir ja versucht. Wie würde man sowas machen? Uns fehlt leider ein gutes Beispiel an dem wir uns ranhangeln können. (in der Physik ist das alles so viel unkomplizierter Augenzwinkern

)

Zitat:

Falls ihr lineare Dgls zweiter Ordnung hattet, dann würde sich auch darüber ein Weg anbieten.

Wie würde ein solcher Weg aussehen? Dgls zweiter Ordnung wurden im Skript schon behandelt.

Vielen Dank und vielen Grüße
Brocki

09.11.2009, 18:25

vektorraum

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OK, es stand ja nur da, dass ihr eine Lösung finden sollt. Das habt ihr gemacht und gezeigt, dass es eine ist. Hattet ihr noch irgendwelche Existenz- oder Eindeutigkeitssätze? Dann müsstet ihr damit zeigen, dass das die einzigen Lösungen sind.

Wenn ihr lineare Dgls zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten schon hattet, dann bietet sich alternativ auch ein "Rechenweg" an:

Leite die zweite Gleichung einmal ab und setze sie in die erste Gleichung ein. Dann hast du eine homogene Dgl zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten und bestimmst die Lösungen durch den Ansatz $\begin{eqnarray*} x(t)=e^{\lambda t} \end{eqnarray*}$ .

09.11.2009, 19:07

brocki

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Genau, die Aufgabenstellung lautet nur:
"Finden Sie eine Lösung des Anfangswertproblems: ..." Meinst du ich muss die Eindeutigkeit dann noch zeigen?*grübel*

Existenz und Eindeutigkeitsätze habe ich im Skript gefunden. Nur leider habe ich keinen Dunst wie ich diese Anwenden muss....

Zitat:

Leite die zweite Gleichung einmal ab und setze sie in die erste Gleichung ein. Dann hast du eine homogene Dgl zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten und bestimmst die Lösungen durch den Ansatz ...

Das habe ich gemacht. Wenn ich dann den Koeffizienten bestimmen möchte bekomme ich für $\begin{eqnarray*} \lambda = i \end{eqnarray*}$ raus. Ebenso habe ich das Problem, dass ich mit $\begin{eqnarray*} x_{2}(t) = e^{\lambda t} \end{eqnarray*}$ die Anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} x_{2}(0) = 0 \end{eqnarray*}$ nicht erfüllen kann.
Ich glaube, ich habe nicht ganz verstanden wohin der Ansatz führen soll, da ich doch das gleiche Problem mit der Eindeutigkeit bekommen würde, wenn ich eine Lösung gefunden hätte oder soll der nur Ansatz zeigen, dass eine Lösung existiert und diese mit sin(), cos() beschrieben werden kann?

Vielen Dank
Brocki

09.11.2009, 20:27

vektorraum

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Das sieht doch schon ganz gut aus. In der Tat sind sogar $\begin{eqnarray*} \pm i \end{eqnarray*}$ Lösungen der Gleichung...

Nutze die Euler-Identität $\begin{eqnarray*} e^{ix}=\cos x+isin x \end{eqnarray*}$ .

Reelle Lösungen für die Differentialgleichungen erhält man dann aus dem Real- bzw. Imaginärteil. Und damit hast du dann deine Sinus- und Cosinus-Funktion als Lösung. Schließlich noch AW einsetzen, fertig.

Bezüglich der Eindeutigkeit könntest du mit Picard-Lindelöf argumentieren.

09.11.2009, 20:59

brocki

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OK, das habe ich kapiert und auch meinen Fehler mit dem +- erkannt.
Eine Frage:
Was ist an dieser Lösung besser, als an unserer in der wir behauptet haben, dass sin() und cos() eine Lösung ist und dieses mit den Anfangsbed. überprüft/ bestätigt haben? Das ist mir noch nicht so ganz klar... Darf ich das nicht so einfach behaupten bzw. genügt unsere Überprüfung nicht als Beweis, dass die Behauptung stimmt?

Picard-Lindelöf darf ich glaube ich nicht benutzen. Ich habe Ihn in meinem Skript nicht gefunden. Wir haben einen Satz bzgl. der Eindeutigkeit, der aber wohl das Gleiche besagt. Ich versuche mal damit was zu basteln....

Vielen Dank nochmal!

10.11.2009, 08:51

vektorraum

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Nein, dass ist schon okay so, wenn du sofort die Lösung siehst. Du hattest aber gefragt, wie man eventuell eine Lösung herleiten könnte, wenn einem die Funktionen nicht sofort ins Auge springen. Eventuell kann man das Verfahren dann auch übertragen auf andere Sachverhalte und ggf. Lösungskurven bestimmen.

Deshalb nochmal: Lösung angeben und zeigen, dass es eine ist, ist schon okay. Ich wollte dir nur noch Möglichkeiten aufzeigen, damit du es zur Not auch "zu Fuß" könntest.

Na dann schreib mal auf, was du zur Eindeutigkeit zu sagen hast...

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