Satz des Vieta?

06.11.2009, 13:03	Tabsilein	Auf diesen Beitrag antworten »
Satz des Vieta? Ich verstehe diesen Satz nicht. Außerdem verstehe ich auch diesen bekannten Satz nicht: Ein Produkt ist nur dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist. Soll das heißen wenn q 0 ist? Und was muss man dann machen? Da war doch irgendwas mit x+x und x*x oder so etwas .. Wäre lieb wenn ihr schnell antwortet
06.11.2009, 13:33	giles	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, der "Satz von Vieta" so wie ich ihn kenne gibt für eine quadratische Gleichung der Form $\begin{eqnarray} x^2+px+q \end{eqnarray}$ einen Zusammenhang zwischen den Nullstellen an und zwar: Hast du Nullstellen der Gleichung $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ , so kannst du das "Faktorisieren": $\begin{eqnarray} x^2+px+q=(x-a)\cdot (x-b) \end{eqnarray}$ Dann multiplizier das einmal aus: $\begin{eqnarray} (x-a)(x-b)=x^2-xb-ax+ab \end{eqnarray}$ jetzt kannst du nach den Potenzen von $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ sortieren: $\begin{eqnarray} x^2+(-a-b)x+ab \end{eqnarray}$ dann identifizierst du das mit der ursprünglichen Gleichung: $\begin{eqnarray} x^2+px+q=x^2+\underbrace{(-a-b)}_{=p}x+\underbrace{ab}_{=q} \end{eqnarray}$ und schon hast du den Satz von Vieta: $\begin{eqnarray} p=-a-b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q=a\cdot b \end{eqnarray}$ Das mit dem Produkt ist auch sehr wichtig zu verstehen: Nimm mal an du hast eine Gleichung gegeben $\begin{eqnarray} A\cdot B=0 \end{eqnarray}$ und weder $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ noch $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ sind Null, d.h. du darfst durch sie teilen: $\begin{eqnarray} A\cdot B=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vert :A :B \end{eqnarray}$ dann $\begin{eqnarray} \underbrace {\frac {A\cdot B}{A\cdot B}}_{=1}=0 \end{eqnarray}$ und das kann ja nicht sein! Jetzt zeigen wir auch noch anders herum, dass $\begin{eqnarray} A\cdot 0=0 \end{eqnarray}$ ist: Die $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ ist die einzige Zahl für die gilt: $\begin{eqnarray} A+0=A \end{eqnarray}$ , aber: $\begin{eqnarray} A\cdot 0=A\cdot (0+0)=A\cdot 0 + A\cdot 0 \end{eqnarray}$ also bleibt ein Element auch gleich, wenn man $\begin{eqnarray} A\cdot 0 \end{eqnarray}$ addiert, also ist $\begin{eqnarray} A\cdot 0 \end{eqnarray}$ eben die $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ ! Jetzt kannst du das anwenden auf den Satz von Vieta (Schreibweise wie oben): Ist $\begin{eqnarray} a=0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} b=0 \end{eqnarray}$ als Nullstelle von $\begin{eqnarray} x^2+px+q \end{eqnarray}$ , so ist auf jeden Fall $\begin{eqnarray} q=a\cdot b=0 \end{eqnarray}$ Ich hoffe der viele Text hat dich jetzt nicht zu sehr verwirrt. MfG
06.11.2009, 13:33	Jacques	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Die Sätze haben nichts miteinander zu tun. Der Satz mit dem „Nullprodukt“ sagt aus, dass ein Produkt aus reellen Zahlen genau dann 0 ist, wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist. Das heißt: Wenn in einem Produkt nur ein einziger Faktor 0 lautet, dann ist sofort das gesamte Produkt 0, unabhängig davon, welche Zahlen die anderen Faktoren 0 sind. Umgekehrt kann ein Produkt nur dann 0 sein, wenn ein Faktor 0 ist. Also man kann von 0 verschiedene Zahlen niemals zu einem Nullprodukt anordnen. Der Satz von Vieta bezieht sich auf (in Deinem Fall) speziell auf quadratische Gleichungen in Normalform und macht eine Aussage darüber, wie die Lösungen mit den Koeffizienten der Gleichung zusammenhängen: Wenn zwei Zahlen x1 und x2 eine quadratische Gleichung x² + px + q = 0 lösen, dann gilt x1 + x2 = -p und x1 * x2 = q. Umgekehrt: Wenn für zwei Zahlen diese beiden Zusammenhänge gelten, dann lösen sie auch die Gleichung.
06.11.2009, 14:10	tabsilein	Auf diesen Beitrag antworten »
ich muss mir eure texte noch drei, viermal durchlesen, dann versteh ich das auch dankeschön!
06.11.2009, 15:43	kiste	Auf diesen Beitrag antworten »
verschoben in die Schulalgebra
06.11.2009, 15:48	Kopfrechner	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Methode von Vieta wird durch etwas Übung klar. Dazu hier Übungsaufgaben mit gerechneten Lösungen Gruß vom Kopfrechner
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