Beweis durch vollständige Induktion; Summenformel

06.11.2009, 13:08

tobi20

Beweis durch vollständige Induktion; Summenformel

Also die Aufgabenstellung heißt:
Berechnen Sie für einige natürliche Zahlen n die Summen und stellen Sie dann eine Vermutung über ihre "Summenformel" auf. Untersuchen Sie Ihre Formel mithilfe der vollständigen Induktion auf ihre Gültigkeit.

1+2+3+4+...+(2n-1)

Eigentlich muss man ja erst einmal n-zahlen einsetzen, um so eine Vermutung für die Summe zu folgern. Aber hier scheiterts schon bei mir^^... Ich verstehe diese Zahlenfolge nicht.Ich habe zwar auch die Lösung (s1=1; s2=6; s3=15; s4=28; s5=45) dafür, aber selbst damit komme ich nicht darauf.Ich steh grad irgendwie voll auf dem Schlauch. Bitte um Aufklärung.

06.11.2009, 13:20

lgrizu

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RE: Beweis durch vollständige Induktion; Summenformel
die summe einiger natürlicher zahlen 1 bis n ist 1+2+3+4+...+n
nimm zum beispiel die zahlen von 1 bis 100, gauss sagt man nach, er habe das in der 4. klasse gekonnt, das is 1+2+3+4...+100.
stellen wir das ganze um so erhalten wir:
(1+100)+(2+99)+....+(50+51)
die ausdrücke in den klammern ergeben jeweils 101, in diesem fall ist n=100, also n+1.
wie viele summanden sind das insgesant?
100, also, es stehen zwei in jeder klammer, 50 klammerausdrücke. 50=100/2, also n/2.
zusammen ergibt sich dann:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n~k = (n+1)*\frac{n}{2} \end{eqnarray*}$
und das beweist man dann mit induktion,dass es auch für alle beliebigen n gilt.

06.11.2009, 13:44

klarsoweit

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RE: Beweis durch vollständige Induktion; Summenformel

Zitat:

Original von tobi20
1+2+3+4+...+(2n-1)

Irgendwie ist diese Schreibweise in sich nicht stimmig. Entwder summierst du die natürlichen Zahlen auf, dann muß da stehen:
1+2+3+4+...+n

Oder du summierst nur die ungeraden Zahlen auf, dann muß da stehen:
1+3+5+...+(2n-1)

Aber beides gemixt ergibt keinen Sinn.

06.11.2009, 13:49

lgrizu

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RE: Beweis durch vollständige Induktion; Summenformel

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von tobi20
1+2+3+4+...+(2n-1)

hihi stimmt, ist mir gar nicht aufgefallen

06.11.2009, 13:49

Jacques

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RE: Beweis durch vollständige Induktion; Summenformel

Zitat:

Original von klarsoweit

Aber beides gemixt ergibt keinen Sinn.

Und die angebliche Musterlösung macht die Verwirrung perfekt: Augenzwinkern

Zitat:

Original von tobi20

Ich habe zwar auch die Lösung (s1=1; s2=6; s3=15; s4=28; s5=45) dafür

06.11.2009, 14:25

astfdk

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RE: Beweis durch vollständige Induktion; Summenformel
Du hast in deiner Lösung einen Fehler. S1=1 S2=3 etc.

Als erstes sollst du einfach nur Zahlen zusammenrechnen.

1=1
1+2=3

etc.

Und dann mithilfe der Induktion deine Vermutung beweisen. Diese Vermutung ist ja nicht so schwer aufzustellen.

06.11.2009, 14:30

Jacques

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Das Problem ist, dass der Aufgabensteller anscheinend gar nicht sicher ist, um welche Summe es geht.

Die Schreibweise 1 + 2 + 3 + ... deutet auf

$\begin{eqnarray*} \sum_{k = 1}^n k = 1 + 2 + \ldots + n \end{eqnarray*}$

Das Ende (2n-1) deutet auf

$\begin{eqnarray*} \sum_{k = 1}^n 2k - 1 = 1 + 3 + 5 + \ldots + 2n - 1 \end{eqnarray*}$

Die Musterlösung auf

$\begin{eqnarray*} \sum_{k = 0}^n 4k + 1 = 1 + 5 + 9 + \ldots + 4n + 1 \end{eqnarray*}$

06.11.2009, 15:51

tobi20

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Beweis durch vollständige Induktion; Summenformel
Genau das was Jacques schreibt ist das Problem bei mir. Weil einfach diese Folge überhaupt keinen Sinn ergibt. Ich denke, dass da dann wohl ein Schreibfehler im Mathebuch das Problem ist. Werde auch nochmal meinen Lehrer fragen,weil wir die Aufgabe vor ein paar Wochen behandelt haben.

03.03.2010, 23:26

Verdruss

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Natürlich ergibt diese Folge einen Sinn. Man kann sie nur nicht einfach so erweitern wie eine andere Folge mit nur einer Zahl.

1+2+3+4...+(2n-1) bedeutet einfach nur, dass man bei 1 anfängt zu zählen und bei (2n-1) aufhört. bei n=1 also einfach 1, bei n=2 1+2+3, bei n=3 1+2+3+4+5 usw.
Wo macht das keinen Sinn?

Die vom Ersteller gesuchte Summenformel ist btw. 2n²-n.

04.03.2010, 00:06

Jacques

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Hallo,

Du bist vier Monate zu spät dran. Augenzwinkern

Die Schreibweise ist auf jeden Fall sehr ungewöhnlich, denn normalerweise gibt der Endausdruck ja auch den allgemeinen Summanden an:

$\begin{eqnarray*} 2 + 4 + 6 + \ldots + 2n \end{eqnarray*}$

heißt „addiere alle Zahlen des Typs 2k von k = 1 bis k = n“.

Natürlich kann man es auch so machen, dass der Endausdruck allein für den letzten Summanden steht und der Leser selber gucken muss, welche Zahlen addiert werden. Dann „darf“ man eben auch sowas schreiben wie

$\begin{eqnarray*} 2 + 4 + 6 + \ldots + 16n \end{eqnarray*}$

(Nicht etwa $\begin{eqnarray*} \textstyle{\sum_{k=\ldots}^{n}16k} \end{eqnarray*}$ , sondern $\begin{eqnarray*} \textstyle{\sum_{k=1}^{8n}2k} \end{eqnarray*}$ )

Fragt sich nur, ob es sinnvoll ist, an den Schreibtraditionen rumzupfuschen. Bei bekannten Schreibweisen hat man ja intuitiv bestimmte Erwartungen. Wenn ich z. B.

$\begin{eqnarray*} x + y + \ldots + 2n \end{eqnarray*}$

sehe, denke ich sofort an

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=\ldots}^{n}\,2k \end{eqnarray*}$

Und ich nehme mal an, dass es den meisten so geht. Die Pünktchen-Schreibweisen funktionieren ja gerade wegen dieser „Suggestion“, denn der Leser muss selber die fehlenden Informationen ergänzen.

Wenn es dann ganz anders ist als erwartet, dann ist das zumindest ein böser Stolperstein, wie man ja auch oben sieht. Also ich finde die Schreibweise nach wie vor „falsch“. Ich hätte es zumindest so geschrieben:

$\begin{eqnarray*} 1 + 2 + 3 + \ldots + i + \ldots + 2n - 1 \end{eqnarray*}$

Dann wird man gewarnt, den allgemeinen Summanden nicht wie gewohnt aus dem letzten Summanden abzulesen.

04.03.2010, 22:58

Verdruss

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Die 4 Monate zu spät waren mir bewusst, allerdings dachte ich mir, dass, wenn jemand anderes Google benutzen würde und ebenfalls auf diese Seite käme, wie ich es tat, dann doch wenigstens ein Lösungsvorschlag hier stehen würde.

Für mich persönlich reicht eigentlich die Darstellung von 1+2+3+4... aus, um zu sehen, dass ich jede Natürliche Zahl von der 1 aus da rein addieren soll, egal, wo die Reihe aufhört. Dass man aus 2n als letztes direkt nur in Zweierschritten vorgehen soll, ist ja eigentlich ein Trugschluss.

Aber, wie auch immer. Zumindest funktioniert die Summenformel so Big Laugh

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