Lineare Unabhängigkeit zeigen

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Hansiwansi Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Unabhängigkeit zeigen
hallo,
ich versuche grad die lineare unabhängigkeit von einigen vektoren zu prüfen.

folgende vektoren sind gegeben:
a(2/-1/0/2) b(6/-2/2/5) c(-4/6/11/-10) d(10/-3/1/13)

nun soll ich zeigen das a,b,c und d linear unabhängig sind.und dann soll ich zeigen zu welchem vektorraum sie eine basis bilden.kann ich jetzt einfach ein gleichungssystem aufstellen und mit dem gauss verfahren soweit wie möglich lösen?wenn es nur pivotspalten gibt,dann sind die vektoren doch linear unabhängig richtig?welche lösung soll ich denn beim gauss nutzenverwirrt einfach x1,x2,x3 und x4?).und wie zeige ich zu welchem vektorraum die vektoren eine basis bilden?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Schreib die Vektoren zeilenweise in eine Matrix und forme mittels Gauß-Algorithmus um. Entsteht keine Nullzeile, bilden die Vektoren eine Basis des R^4 (die umgeformten und auch die ursprünglichen). Entstehen Nullzeilen, streiche diese und du erhälst zeilenweise eine Basis eines UVR des R^4. Bleiben zum Beispiel nur zwei übrig, bilden die vier ursprünglichen Vektoren bzw. die umgeformten eine Basis von einem zweidimensionalen Unterraum des R^4.
Hansiwansi Auf diesen Beitrag antworten »

ok danke,kann man dann auch sagen, dass die vektoren linear unabhängig sind wenn keine nullzeile entsteht?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Jep.
MorganHumphreys Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cel
Schreib die Vektoren zeilenweise in eine Matrix und forme mittels Gauß-Algorithmus um. Entsteht keine Nullzeile, bilden die Vektoren eine Basis des R^4 (die umgeformten und auch die ursprünglichen). Entstehen Nullzeilen, streiche diese und du erhälst zeilenweise eine Basis eines UVR des R^4. Bleiben zum Beispiel nur zwei übrig, bilden die vier ursprünglichen Vektoren bzw. die umgeformten eine Basis von einem zweidimensionalen Unterraum des R^4.


Eine kurze Verständnisfrage:
Sagen wir ich hab 4 Vektoren aus einem Unterreaum U des R^4.
Jetzt soll ich die Basis von span(v1, v2, v3, v4) bestimmen.
Dann schreibe ich die 4 Vektoren als Spaltenvektoren in eine Matrix, Forme mittels Gauß zur Normierten Zeilestufenform um, und wenn die Matrix dann so aussieht:



Dann weiß ich, dass v1 und v4 linear unabhängig sind und die Basis von span(U) bilden. (Weil sie ja auch das Erzeugendensystem sind).
MorganHumphreys Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von MorganHumphreys



Besser noch, füt mein Verständnis:

Angenommen man hätte diese Matrix in NZSF erhalten:



Weiß man dann, dass v1, v3 die Basis von span(U) ist?
 
 
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