Flächeninhalt vom Dreieck

30.09.2006, 14:41

voessli

Flächeninhalt vom Dreieck

Wer hat eigentlich das Formel-Ungetüm für die Flächenberechnung eines Dreiecks herausgefunden? Und wie finde ich den Ansatz diese herzuleiten?

http://upload.wikimedia.org/math/7/2/b/72b5c828281854852abba69ce54e8ea4.png

30.09.2006, 16:17

xrt-Physik

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Fasse erstmal die Variablen zusammen. Dann kommst du auf:

$\begin{eqnarray*} 16A^{2} = 2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4} \end{eqnarray*}$

Zusammenfassen zu einer binomischen Formel ergibt:

$\begin{eqnarray*} 16A^{2} = -(c^{2}-b^{2})^{2}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}-a^{4} \end{eqnarray*}$

Und Anwenden der Gesetzmäßigkeit für c²-b² = a² / zusammenfassen:

$\begin{eqnarray*} 16A^{2} = 2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}-2a^{4} = 2a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2}) \end{eqnarray*}$

Dann nochmals dieselbe Gesetzmäßigkeit anwenden:

$\begin{eqnarray*} 16A^{2} = 4a^{2}b^{2} \end{eqnarray*}$

Umformung nach A ergibt die normale aus der Geometrie bekannte
Formel für Dreiecksberechnung. Es ist nur eine "verformte" Gleichung!

30.09.2006, 16:54

voessli

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Danke für die Zusammenfassung, nur wieso gilt diese Formel für beliebige Dreiecke?
Im Prinzip wurde die Flächenformel für den Spezialfall, das rechteckige Dreieck, zu einer Gleichung umgeformt, die für alle Dreiecke gilt..

30.09.2006, 17:36

riwe

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das ist "einfach" das quadrat der heronschen flächenformel:
$\begin{eqnarray*} A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} \end{eqnarray*}$
mit 2s = a + b + c
und da diese für ALLE dreiecke gilt, gilt die formel natürlich auch für rechtwinkelige dreiecke, was ja oben bewiesen wurde! Big Laugh

werner

30.09.2006, 18:44

voessli

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technisch gesehen hat diese Formel eine eher geringere Bedeutung, zumindest hab ich sie noch nie anwenden müßen.. weshalb Heron die wohl aufgestellt hat?

Xrt hat die heronsche Formel übrigens aus der Formel für rechteckige Dreiecke abgeleitet (oder umgekehrt)

30.09.2006, 19:01

riwe

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Zitat:

Original von voessli
technisch gesehen hat diese Formel eine eher geringere Bedeutung,

da wird heron aber traurig sein! böse

Zitat:

Original von voessli
Xrt hat die heronsche Formel übrigens aus der Formel für rechteckige Dreiecke abgeleitet (oder umgekehrt)

woraus du das ersiehst, ist mir schleierhaft Big Laugh

soweit ich das sehe, hat er einfach das "quadrat quadriert" Big Laugh

werner

30.09.2006, 19:16

voessli

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??

aus

$\begin{eqnarray*} 16A^{2} = 4a^{2}b^{2} \end{eqnarray*}$

wird

$\begin{eqnarray*} 16A^{2} = 2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}-a^{4}-b^{4}-c^{4} \end{eqnarray*}$

30.09.2006, 19:27

Serpen

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ja voessli du hast Recht, denn xrt hat c² = a² + b² benutzt, was eben nur bei rechtwinkligen Dreiecken gilt

30.09.2006, 19:40

voessli

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ich wundere mich nur weil aus c² = a² + b² und $\begin{eqnarray*} 16A^{2} = 4a^{2}b^{2} \end{eqnarray*}$ die heronsche Formel hergeleitet wird, die für alle Dreiecke gilt..

30.09.2006, 20:00

riwe

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das ist totaler unsinn

da würde sie - die unbedeutende - ja nur für rechtwinkelige dreiecke gelten.
also quatsch Big Laugh

werner

eine simple herleitung der heronformel findet man hier

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