Ableitung bei einem Extremwert

30.09.2006, 14:50

Daktari

Ableitung bei einem Extremwert

Hi, könnt ihr mir bei einem kleinen Beweis helfen?

Sei $\begin{eqnarray*} f:{\mathbb R}->{\mathbb R} \end{eqnarray*}$ eine Funktion, die in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ einen lokalen Extremwert hat.
z.z. $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=0 \end{eqnarray*}$

Ich kenne den Differentialquotienten $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$ und die Definition von Hochpunkt/Tiefpunkt.

$\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist Tiefpunkt, wenn eine Umgebung U um $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} f(x)\geq f(x_0) \forall x \in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist Hochpunkt, wenn eine Umgebung P um $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ existiert mit $\begin{eqnarray*} f(x)\leq f(x_0) \forall x \in P \end{eqnarray*}$

Ich vermute dass man bei deiesem Beweis 2 Fälle unterscheiden muss ( $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ist Tiefpunkt/Hochpunkt). Man schnappt sich den Differentialquotienten und schätzt mit der Definition von Hochpunkt/Tiefpunkt ab.
Mir fehlt hierzu aber der "zündende" Gedanke Hilfe

30.09.2006, 15:09

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

Allgemein ist die Aussage falsch, die Funktion muss stetig und sogar diffbar sein (in einer Umgebung um x0), sonst guckst du blöd aus der Wäsche.
Die Ableitungsfunktion sollte auch stetig sein (?).

Wenn du gerne eine FU machen möchtest, warum nicht, ist aber am Ende eh vermutlich alles irgendwie analog zueinander.

Fall Hochpunkt in x0, also in einer Epsilonumgebung......
Annahme: f'(x0)>0, dann gibt es Deltaumgebung, auf der f'(x0)>0 ist (da f' stetig).
Jetzt pick mal ein x1 aus dieser Epsilon- und aus der Deltaumgebung (der Schnitt ist ja wieder eine Umgebung und zwar anschaulich die "kleinere" raus).
Wähe dabei x1>x0.

Mittelwertsatz hilft dir nun, denn der sagt f(x1)>f(x0) Widerspruch aus.

Im Falle f'(x0)<0 musst du dann analog ein x1<x0 wählen.
Im Falla Tiefpunkt usf.

30.09.2006, 15:56

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

Meinste es so ?

Sei bei $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ ein Hochpunkt,
Sei $\begin{eqnarray*} x_0+h\in U_{\epsilon}(x_0) \end{eqnarray*}$ wo gilt $\begin{eqnarray*} f(x_0)\geq f(x) \forall x \in U_{\epsilon} \end{eqnarray*}$
Sei h>0 , dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\leq 0 \end{eqnarray*}$
Sei h<0 , dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\geq 0 \end{eqnarray*}$

Also ist $\begin{eqnarray*} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\leq 0 \leq \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$ .
Da aber $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = f'(x_0) \end{eqnarray*}$ ,
folgt nach dem "Sandwichtheorem" für Folgen, dass $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=0 \end{eqnarray*}$

EDIT: Tiefpunkt analog...

30.09.2006, 16:04

JochenX

Auf diesen Beitrag antworten »

So ganz das wahre kann das noch nicht sein, da du da in einer Ungleichungskette zwei verschiedene h hast und überhaupt sehe ich noch nicht ganz, wo du da Folgen hast um ein Sandwich zu machen.

Mein Vorschlag lief auch auf Beweise ganz ohne Diffquot hinaus, vielleicht weil ich mich bei solch anderen Beweisen wohler fühle.
Vielleicht kann wer anders noch mehr zu deinem aktuellen Vorschlag sagen, ich verstehe ihn nicht.

Meine Idee war ja (Fall Hpchpunkt):
Nimm an, die Steigung sei ungleich 0, dann findest du in jeder Umgebung einen höheren Punkt. Widerspruch und fertig.

30.09.2006, 17:18

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Daktari
Also ist $\begin{eqnarray*} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\leq 0 \leq \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} \end{eqnarray*}$ .
Da aber $\begin{eqnarray*} \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = f'(x_0) \end{eqnarray*}$ ,
folgt nach dem "Sandwichtheorem" für Folgen, dass $\begin{eqnarray*} f'(x_0)=0 \end{eqnarray*}$

Also die Beweisidee ist prinzipiell ok, aber mathematisch nicht ganz sauber formuliert. Besser so:
Es ist $\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{x \sea x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0} \leq 0 \end{eqnarray*}$ , da in einer Umgebung von x_0 f(x) <= f(x_0) ist.

Weiter gilt:
$\begin{eqnarray*} f'(x_0) = \lim_{x \nea x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0} \geq 0 \end{eqnarray*}$ , da in einer Umgebung von x_0 f(x) <= f(x_0) ist.

Und jetzt kann das Sandwich kommen. Augenzwinkern

01.10.2006, 09:46

Daktari

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bitte nicht lachen, aber ich habe mich gerade gefragt (wegen dem "Sandwichtheorem für Folgen") wann bei $\begin{eqnarray*} \frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0} \leq 0 \end{eqnarray*}$ Gleichheit herrscht.
Das in einer Umgebung von $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ die Gleichheit von $\begin{eqnarray*} f(x)=f(x_0) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=x_0 \end{eqnarray*}$ gilt wird wohl niemand bezweifeln.
Aber bei dem Bruch muss $\begin{eqnarray*} x \neq x_0 \end{eqnarray*}$ sein, also fällt diese Möglichkeit weg. Hilfe

01.10.2006, 10:45

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Das kommt jetzt drauf an, wie das Extremum definiert ist. Müssen bei einem Maximum in einer Umgebung alle Funktionswerte echt < sein oder ist <= zulässig. Beispiel f(x) = 1. Hat die Funktion Extremstellen oder eben keine?

Neue Frage »

Antworten »

Ableitung bei einem Extremwert

Verwandte Themen