Alienforscher

06.11.2009, 23:00	Kalli	Auf diesen Beitrag antworten »
Alienforscher Ich habe ein Problem mit einer Aufgabe: Eine Alienforscherin entwickelt folgendes Populationsmodell: Es sei Fn die Anzahl der Alienpaare in der Woche n. EIn neugeborenes Alienpaar setzt dabei in der übernächsten Woche sechs neue Paare in die Welt. Da ALiens bekanntermaßen unsterblich sind, genügt somit die Größe Fn der Rekursionsformel: F(n+1) = F(n) + 6F(n-1) $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ Zeigen Sie, ausgehend von den Anfangswerten F(1) = 1 und F(2) = 1, die explizite Formel $\begin{eqnarray} F(n) = \frac{1}{5} (3^{n} -(-2)^{n} ) \end{eqnarray}$ für alle n (Element) N Hat jemand eine Idee?? Mfg Kalli (Weiß bei manchen Zeichen nicht, wie man sie hier schreibt, wie man sieht)
07.11.2009, 00:15	Andi24	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, ich würds mit der starken vollständigen Induktion beweisen. Du zeigst, dass die angegebene Formel für n=1 und n=2 stimmt. Bei der Induktionvorraussetzung nimmst du an, dass die Formel für alle $\begin{eqnarray} k \leq n \end{eqnarray}$ erfüllt ist und führst dann den Induktionsschritt mit der Rekursionsformel durch. Gruß
07.11.2009, 20:34	Kalli2671990	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich fang an und setze für n 1 und 2 ein. Ok so weit so gut, die Formel stimmt dafür. Und jetzt? Wenn ich k einsetze kommt ja das gleiche raus, wie wenn ich n einsetze. nur dass statt n halt k da steht. Ich versteh nicht wie es dann weitergeht.
08.11.2009, 11:33	Kalli2671990	Auf diesen Beitrag antworten »
Keiner da der mir helfen kann?
10.11.2009, 16:22	Kalli2671990	Auf diesen Beitrag antworten »
ALso ich glaub ich hab eine Lösung. Man setzt n=1 und n=2 in die Gleichung (1) $\begin{eqnarray} \frac{1}{5}(3^{n}-(-2)^{n}) \end{eqnarray}$ ein. Wenn man nun davon ausgeht, dass die Gleichung F(n+1) = F(n) + 6F(n-1) für alle n und n-1 erfüllt ist. Kann man für F(n) und F(n-1) einfach Gleichung (1) einsetzen und es müsste als Ergebnis $\begin{eqnarray} \frac{1}{5}(3^{n+1}-(-2)^{n+1}) \end{eqnarray}$ herauskommen. Was auch der Fall ist. Also wenn n und n-1 gilt, dann gilt die Gleichugn auch für n+1. Da sie für n = 1 und n= 2 gilt, gilt sie für 3. Demnach auch für 4 . . . . . für alle natürlichen Zahlen. Damit hat man das gewünschte Ergebnis
10.11.2009, 19:37	Andi24	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das stimmt. Nur, dass du nicht nur annimmst, dass die Gleichung für n und n-1 erfüllt ist, sondern für alle Zahlen $\begin{eqnarray} k \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ , welcher kleiner als n sind. Also für n-1,n-2,..... usw. Gruß
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