Winkelgeschwindigkeit durch Integration

07.11.2009, 11:01

Tom Servo

Winkelgeschwindigkeit durch Integration

Hallo Leute, ich könnte einen kleinen Tipp gebrauchen:
Hier wird eine Umformung vorgenommen, um von der Winkelbeschleunigung zur Winkelgeschwindigkeit zu kommen:
http://books.google.de/books?id=jfEwnhV9...gration&f=false

Diese Umformung verstehe ich nicht. Kann mir das jemand erklären?
Normalerweise würde ich einfach nach t integrieren...

Danke

07.11.2009, 11:17

Tom Servo

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Konnte Beitrag nicht mehr ändern
Also, es geht darum:
$\begin{eqnarray*} \ddot{\psi}=\frac{3g}{2l}cos(\psi) \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} \psi=\psi(t) \end{eqnarray*}$
Wie komme ich auf $\begin{eqnarray*} \dot{\psi} \end{eqnarray*}$ ?
Ich verstehe die beiden Schritte
$\begin{eqnarray*} \ddot{\psi}=\frac{d \dot{\psi}}{d \psi} \dot{\psi} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \frac{\dot{\psi}^2}{2}=\int \ddot{\psi} \ d \psi \end{eqnarray*}$
nicht.

07.11.2009, 11:52

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RE: Konnte Beitrag nicht mehr ändern

Zitat:

Original von Tom Servo
Also, es geht darum:
$\begin{eqnarray*} \ddot{\psi}=\frac{3g}{2l}cos(\psi) \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} \psi=\psi(t) \end{eqnarray*}$
Wie komme ich auf $\begin{eqnarray*} \dot{\psi} \end{eqnarray*}$ ?

Ah, Physik Augenzwinkern

. Ähnliche Umformungen sind wichtig, weil sie ein häufig genutztes Hilfsmittel für die Lösung der newtonschen Gleichungen sind.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \ddot{\psi}=\frac{d \dot{\psi}}{d \psi} \dot{\psi} \end{eqnarray*}$

Das ist die Kettenregel zwischengeschaltet. Es gilt:
$\begin{eqnarray*} \ddot{\psi}=\frac{\mathrm{d}\dot{\psi}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\dot{\psi}}{\mathrm{d}\psi}\frac{\mathrm{d}\psi}{\mathrm{d}t}<br /> \end{eqnarray*}$
Siehst du es? Möglich ist das, weil ja die Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ über die Abhängigkeit der Ableitungen von $\begin{eqnarray*} \psi \end{eqnarray*}$ zustande kommt. Von $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ hängt $\begin{eqnarray*} \ddot{\psi} \end{eqnarray*}$ ja nicht explizit ab.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dot{\psi}^2}{2}=\int \ddot{\psi} \ d \psi \end{eqnarray*}$
nicht.

Dieser Schritt ist jetzt einfache Integration. Leite einmal $\begin{eqnarray*} \frac{\dot{\psi}^2}{2} \end{eqnarray*}$ ab. Bedenke die Kettenregel und Produktregel! Du solltest dann auf den Term oben kommen.

Was auffallen sollte ist, dass also die Integration der Beschleunigung gerade auf die kinetische Energie führt. Daher werden solche Umformungen auch häufig gemacht. Ich kenne sie aber zumeist etwas anders und meiner Meinung nach einfacher.
$\begin{eqnarray*} \ddot{\psi}=\frac{3g}{2l}cos(\psi) \end{eqnarray*}$
Auf beiden Seiten Multiplikation mit der Winkelgeschwindigkeit:
$\begin{eqnarray*} \dot{\psi}\ddot{\psi}=\dot{\psi}\frac{3g}{2l}cos(\psi) \end{eqnarray*}$
Ein bisschen umschreiben:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot 2\dot{\psi}\ddot{\psi}=\frac{3g}{2l}\dot{\psi}cos(\psi) \end{eqnarray*}$
Nun über $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ integrieren. Man erkennt links die Ableitung der kinetischen Energie (Produktregel über $\begin{eqnarray*} (\dot{\psi})^2=\dot{\psi}\cdot \dot{\psi} \end{eqnarray*}$ ) und rechts die Kettenregel. Damit ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int\,\mathrm{d}t\,2\dot{\psi}\ddot{\psi}=\frac{3g}{2l}\int\,\mathrm{d}t\,\dot{\psi}cos(\psi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\dot{\psi}^2}{2}=\frac{3g}{2l}\sin{\psi}+C \end{eqnarray*}$

Gruß
MI

07.11.2009, 16:55

Tom Servo

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RE: Konnte Beitrag nicht mehr ändern

Zitat:

Original von MI

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \ddot{\psi}=\frac{d \dot{\psi}}{d \psi} \dot{\psi} \end{eqnarray*}$

Ehrlich gesagt sehe ich das nicht, und insbesondere den letzten Satz verstehe ich nicht. Psi (und damit die Ableitungen auch) hängen doch nur von t ab.

Zitat:

Original von MI

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dot{\psi}^2}{2}=\int \ddot{\psi} \ d \psi \end{eqnarray*}$
nicht.

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} \frac{\dot{\psi}^2}{2}=\dot{\psi} \cdot \ddot{\psi} \end{eqnarray*}$
?

Zitat:

Original von MI
Was auffallen sollte ist, dass also die Integration der Beschleunigung gerade auf die kinetische Energie führt. Daher werden solche Umformungen auch häufig gemacht. Ich kenne sie aber zumeist etwas anders und meiner Meinung nach einfacher.
$\begin{eqnarray*} \ddot{\psi}=\frac{3g}{2l}cos(\psi) \end{eqnarray*}$
Auf beiden Seiten Multiplikation mit der Winkelgeschwindigkeit:
$\begin{eqnarray*} \dot{\psi}\ddot{\psi}=\dot{\psi}\frac{3g}{2l}cos(\psi) \end{eqnarray*}$
Ein bisschen umschreiben:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot 2\dot{\psi}\ddot{\psi}=\frac{3g}{2l}\dot{\psi}cos(\psi) \end{eqnarray*}$
Nun über $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ integrieren. Man erkennt links die Ableitung der kinetischen Energie (Produktregel über $\begin{eqnarray*} (\dot{\psi})^2=\dot{\psi}\cdot \dot{\psi} \end{eqnarray*}$ ) und rechts die Kettenregel. Damit ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int\,\mathrm{d}t\,2\dot{\psi}\ddot{\psi}=\frac{3g}{2l}\int\,\mathrm{d}t\,\dot{\psi}cos(\psi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\dot{\psi}^2}{2}=\frac{3g}{2l}\sin{\psi}+C \end{eqnarray*}$

Gruß
MI

hier verstehe ich die Integrationen leider noch nicht.

Vielen Dank schon mal für die Antwort

07.11.2009, 17:20

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RE: Konnte Beitrag nicht mehr ändern

Zitat:

Original von Tom Servo
Ehrlich gesagt sehe ich das nicht, und insbesondere den letzten Satz verstehe ich nicht. Psi (und damit die Ableitungen auch) hängen doch nur von t ab.

Ja, das schon - von daher bevorzuge ich meinen Weg weiter unten. Aber du kannst eben auch sagen (wenn ich da jetzt nicht irgendetwas übersehe), dass die Ableitungen von Psi abhängen. Das sieht man ja in der gegebenen Form:
$\begin{eqnarray*} \ddot{\psi}=\frac{3g}{2l}cos(\psi) \end{eqnarray*}$
Da steht: $\begin{eqnarray*} \ddot{\psi}=f(\psi) \end{eqnarray*}$ Natürlich ist Psi von der Zeit abhängig und daher kannst du sagen: Das sind alles Funktionen, die nur von t abhängen.
Aber du kannst eben auch sagen (hier für die 1. Ableitung): $\begin{eqnarray*} \dot{\psi}=f(\psi(t)) \end{eqnarray*}$ .
Also gilt für die zweite Ableitung nach Kettenregel:
$\begin{eqnarray*} \ddot{\psi}=\frac{\mathrm{d}f'(\psi(t))}{\mathrm{d}\psi}\frac{\mathrm{d}{\psi(t)}}{\mathrm{d}t} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von MI

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{\dot{\psi}^2}{2}=\int \ddot{\psi} \ d \psi \end{eqnarray*}$
nicht.

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} \frac{\dot{\psi}^2}{2}=\dot{\psi} \cdot \ddot{\psi} \end{eqnarray*}$

EDIT: Entschuldigung, das war nicht, was ich meinte. Gemeint war:
$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dt} \frac{\dot{\psi}(t)^2}{2}=2\cdot\frac{1}{2} \cdot \frac{\dot{\psi}(t)}{d \psi}\cdot \frac{d\dot{\psi}}{dt} \end{eqnarray*}$
Produktregel ist eine Möglichkeit, ich wollte eigentlich eher die Kettenregel haben.

Zitat:

Original von MI
[...]
Nun über $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ integrieren. Man erkennt links die Ableitung der kinetischen Energie (Produktregel über $\begin{eqnarray*} (\dot{\psi})^2=\dot{\psi}\cdot \dot{\psi} \end{eqnarray*}$ ) und rechts die Kettenregel. Damit ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int\,\mathrm{d}t\,2\dot{\psi}\ddot{\psi}=\frac{3g}{2l}\int\,\mathrm{d}t\,\dot{\psi}cos(\psi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \frac{\dot{\psi}^2}{2}=\frac{3g}{2l}\sin{\psi}+C \end{eqnarray*}$

Gruß
MI

hier verstehe ich die Integrationen leider noch nicht.

Die linke Seite sollte ja klar sein, oder?
Für beide Seiten benutzt du die Substitutionsregel, hier jetzt rechts:
$\begin{eqnarray*} \frac{3g}{2l}\int\,\mathrm{d}t\,\dot{\psi}\cos(\psi)=\frac{3g}{2l}\int\,\mathrm{d}\psi\,\cos(\psi) \end{eqnarray*}$
Denn es gilt ja bekanntlich:
$\begin{eqnarray*} \int\mathrm{d}t\, f'(g(t))\cdot g'(t) = \int \mathrm{d}z \, f'(z) \end{eqnarray*}$
Substitutionsregel.

13.11.2009, 12:41

Tom Servo

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Hallo MI, jetzt ist mir das schon klarer.
Vielen Dank!

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