Fragen zu Komplexen Zahlen

07.11.2009, 12:37

Evelyn89

Fragen zu Komplexen Zahlen

Hallo, wie mein Titel schon andeutet, habe ich einige Fragen zu den komplexen Zahlen.

1.) Was ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{i} \end{eqnarray*}$ ? Wobei i die imaginäre Einheit darstellt.

2.) Ist dieser folgende Schritt mathematisch korrekt?
$\begin{eqnarray*} \sqrt{i^{2}-0,5}=i-\sqrt{-0,5} \end{eqnarray*}$

Außerdem habe ich ein Problem bei folgender Aufgabe:

Berechnen sie alle Lösungen von $\begin{eqnarray*} z^{2}=i \end{eqnarray*}$ , wobei z aus C ist.

Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} z^{2}=i\Rightarrow |z\cdot z'|=i\Rightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}} \end{eqnarray*}$

z' ist natürlich die komplex Konjugierte zu z.
Weiter wusst ich dann nicht mehr...... verwirrt

Ich weiß nicht wie ich da zu einem Ergebnis kommen soll.

Ach ja! Bevor ich das vergesse: z=1 ist natürlich eine Lösung (die triviale). Die anderen fehlen mir aber leider.

Bin für jeder Hilfe dankbar!

07.11.2009, 12:59

giles

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Hallo,

komplexe Wurzeln zieht man am allerbesten in der Polardarstellung... zumindest hab ich das noch nie anders erlebt. Hattet ihr das schon? Wenn ja dürften sich auch alle deine Fragen klären, indem du es einmal mit dieser Darstellung versuchst.

MfG

07.11.2009, 13:07

Evelyn89

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nein , die polardarstellung hatten wir noch nicht.

was nun?

wie sieht es mit der aufgabe aus?

war die umformung so richtig? eigentlich darf man die wurzel von summen oder differenzen nicht trennen, aber ich wusste jetzt nicht wie das mit den komplexen zahlen ist....

07.11.2009, 13:10

mYthos

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Darf man natürlich auch nicht! Dort gelten dieselben Rechengesetze!

mY+

07.11.2009, 13:28

Evelyn89

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nun gut, dann wäre der 1. teil erledigt.
wie sieht es mit meiner 2. frage aus?

kann mir da niemand ein tipp geben?

07.11.2009, 13:30

mYthos

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Warum rechnest du nicht $\begin{eqnarray*} i^2 \end{eqnarray*}$ aus und subtrahierst davon die 0,5?

mY+

07.11.2009, 19:05

Evelyn89

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Das kann ich dir sagen:

wenn ich das mache erhalte ich folgendes:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{-1,5} \end{eqnarray*}$

und ich denke dort ist dann schluss oder wie soll ich die wurzel von -1,5 ziehen?
ich könnte dies dann wieder zu "i" umformen, aber dann käme wieder dasselbe raus wie vorher...
wie sieht es mit der 2. aufg. aus.... kann mir da jemand einen kleinen tipp geben?
komme da wirklich nicht weiter.

07.11.2009, 19:32

giles

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{-\frac{3}{2}}=\sqrt{(-1)\frac{3}{2}}=i\sqrt{\frac{3}{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z^2=i \Rightarrow z=\pm \sqrt{i} \end{eqnarray*}$

07.11.2009, 19:45

mYthos

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Zitat:

Original von giles
...
$\begin{eqnarray*} z^2=i \Rightarrow z=\pm \sqrt{i} \end{eqnarray*}$

Das ist natürlich noch nicht der Weisheit letzter Schluß und muss noch weiter berechnet werden. Wie steht es nun mit der trigonometrischen oder der Exponentialform?

Trigonometrische Form:

$\begin{eqnarray*} i = \cos \frac \pi 2 + i \sin \frac \pi 2 \end{eqnarray*}$

Tipp: Der Betrag ist 1 und wird nicht verändert. Der Winkel wird halbiert ...

mY+

07.11.2009, 19:52

giles

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Das ist schon sehr richtig, doch hat er angemerkt, er hätte die Exponentialform nicht gehabt. Dann wird er wohl sicher auch nicht die Eulerformel kennen Augenzwinkern

07.11.2009, 23:56

mYthos

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Mit $\begin{eqnarray*} \sqrt i \end{eqnarray*}$ ist ihm aber nicht geholfen. Dann muss es eben mittels Realteil und Imaginärteil und Koeffizientenvergleich gemacht werden:

$\begin{eqnarray*} (a + bi)^2 = i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2 - b^2 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2ab = 1 \end{eqnarray*}$
----------------------
$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Weiteres zeigt auch die Boardsuche.

mY+

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