Wurzelintegration

30.09.2006, 18:15

ChristophEDFF

Wurzelintegration

Hallo,

auch nach gründlicher Suche im Forum konnte ich auf folgende Aufgabe nur bedingt Ansätze finden. Was ich gefunden habe, kommentiere ich dann entsprechend.

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sqrt{4-x^{2}}~dx \end{eqnarray*}$

Meine Idee (angeregt durch Lösungsansätze anderer Aufgaben hier im Forum) wäre Substitution und zwar folgendermaßen:

$\begin{eqnarray*} x=2sin(z) \end{eqnarray*}$

Das führt ja zu
$\begin{eqnarray*} z=arcsin(\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} = \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dx = \sqrt{4-x^{2}} dz \end{eqnarray*}$

Wenn ich das dann einsetze komme ich auf
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~\sqrt{4-x^{2}}*\sqrt{4-x^{2}} ~dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}4-x^{2}~dz \end{eqnarray*}$

Danach muss ich ja die Substitution beachten:
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{}~4-4sin^{2}(z)~dz \end{eqnarray*}$

Durch den "Trigonometrischen Pythagoras" sollte sich ja folgendes ergeben:
$\begin{eqnarray*} 4\int_{}^{}~cos^{2}(z)~dz \end{eqnarray*}$

Wenn ich das aber integriere komme ich auf
$\begin{eqnarray*} 2(sin(z)*cos(z)+z) \end{eqnarray*}$

Das sollte dann nach Resubstituierung folgendes ergeben:
$\begin{eqnarray*} 2(\frac{x}{2} * cos(arcsin\frac{x}{2}) + arcsin(\frac{x}{2})) \end{eqnarray*}$

Und ab hier komme ich leider nicht weiter. Ich hab das natürlich mit meinem CAS mal durchgerechnet, komme aber leider auf ein komplett anderes Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} 2*arcsin(\frac{x}{2}) + \frac{x*\sqrt{4-x^{2}}}{2} \end{eqnarray*}$

Schonmal im voraus Danke!

30.09.2006, 18:21

Calvin

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Alles richtig gerechnet. Es gilt $\begin{eqnarray*} \cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$

Siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Additionstheoreme

30.09.2006, 18:36

klarsoweit

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RE: Wurzelintegration

Zitat:

Original von ChristophEDFF
Das führt ja zu
$\begin{eqnarray*} z=arcsin(\frac{x}{2}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{dz}{dx} = \frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}} \end{eqnarray*}$

Die Umstellung nach z mit anschließender Ableitung nach x ist etwas umständlich. Warum leitest du das x nicht nach z ab?

30.09.2006, 19:24

ChristophEDFF

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Zitat:

Original von Calvin
Alles richtig gerechnet. Es gilt $\begin{eqnarray*} \cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$

Siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Additionstheoreme

Ah gut. Das wusste ich jetzt nicht. Woher lässt sich diese Beziehung denn herleiten?

Zitat:

Original von klarsoweit
Die Umstellung nach z mit anschließender Ableitung nach x ist etwas umständlich. Warum leitest du das x nicht nach z ab?

Normalerweise substituiere ich immer mit "z =" und leite das dann so ab mit anschließender Umstellung nach dx, ganz einfach weil es mir in der Schule damals so beigebracht wurde.

Wenn ich das so machen würde, wie du es sagst, würde das das bedeuten?
$\begin{eqnarray*} \frac {dx}{dz} = 2cos(z) \end{eqnarray*}$

Wie geht es denn auf diesem Weg weiter?

30.09.2006, 19:26

klarsoweit

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Zitat:

Original von ChristophEDFF
Wenn ich das so machen würde, wie du es sagst, würde das das bedeuten?
$\begin{eqnarray*} \frac {dx}{dz} = 2cos(z) \end{eqnarray*}$

Wie geht es denn auf diesem Weg weiter?

OK. Jetzt nach dx umstellen und alles einsetzen.

30.09.2006, 19:58

ChristophEDFF

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

OK. Jetzt nach dx umstellen und alles einsetzen.

Stimmt. Ist schon ein bisschen einfacher. Ich würde das dann folgendermaßen machen:

$\begin{eqnarray*} \int_{}{}~\sqrt {4-4sin^{2}(z)} * 2cos(z)~dz \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int_{}{}~4cos^{2}(z)~dz \end{eqnarray*}$

und der Rest wäre wie oben, wenn ich das richtig sehe...

EDIT: (z) vergessen

01.10.2006, 00:05

Calvin

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Zitat:

Original von ChristophEDFF

Zitat:

Original von Calvin
Alles richtig gerechnet. Es gilt $\begin{eqnarray*} \cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$

Siehe auch http://de.wikipedia.org/wiki/Additionstheoreme

Ah gut. Das wusste ich jetzt nicht. Woher lässt sich diese Beziehung denn herleiten?

Da diese Gleichung nur für $\begin{eqnarray*} |x|\leq 1 \end{eqnarray*}$ gilt, kannst du $\begin{eqnarray*} x=\sin u \end{eqnarray*}$ setzen. Dann steht es quasi schon da.

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