Konvergenz beweisen

07.11.2009, 15:51	Moritz87	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz beweisen Hallo Ich hab' mal wieder ein paar Schwierigkeiten und zwar diesmal mit folgender Aufgabe: Sei bn eine Folge und Bn := (b1 + b2+ b3+ .... + bn)/n die Folge der Mittelwerte der ersten n Folgenglieder. Nun soll ich zeigen dass: $\begin{eqnarray} \lim_{n \to oo} \end{eqnarray}$ bn = b $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{n \to oo} \end{eqnarray}$ Bn = b Leider komm' ich hier nicht mal auf einen Ansatz Ich hoffe ihr könnt mir helfen. moritz
07.11.2009, 18:52	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Sei $\begin{eqnarray} \varepsilon > 0 \end{eqnarray}$ vorgegeben. Dann gibt es ein N, sodass $\begin{eqnarray} \|b_n-b\| < \varepsilon \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} n \geq N \end{eqnarray}$ gilt. Es ist $\begin{eqnarray} \left\|\frac{b_1+\dotsb+b_{N-1}+b_N + \dotsb + b_n}{n}-b \right\|=\left\|\frac{(b_1-b)+\dotsb+(b_{N-1}-b)}{n}+\frac{(b_N-b) + \dotsb + (b_n-b)}{n} \right\| \end{eqnarray}$ Nun kannst du beide Summanden gut abschätzen.
07.11.2009, 23:34	Moritz87	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst mal vielen Dank für deine Antwort Aber irgendwie komm' ich immer noch nicht weiter Moritz
08.11.2009, 12:19	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Wo genau kommst du nicht weiter? Hast du irgendwas von meinem Beitrag nicht verstanden? Oder weißt du einfach nicht wie du jetzt weiter abschätzen kannst? Du musst schon etwas präziser werden...
08.11.2009, 12:40	Moritz87	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiss leider nicht wie ich den letzten Term abschätzen kann
08.11.2009, 12:46	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht erstmal mit der Dreiecksungleichung?
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08.11.2009, 13:18	Moritz87	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist Betrag von [ $\begin{eqnarray} \frac{(b1-b) +...+(bN-1 -b)}{n} \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} \frac{(bN-b) +...+(bn -b)}{n} \end{eqnarray}$ )] $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ Betrag von [ $\begin{eqnarray} \frac{(b1-b) +...+(bN-1 -b)}{n} \end{eqnarray}$ ] + Betrag von [ $\begin{eqnarray} \frac{(bN-b) +...+(bn -b)}{n} \end{eqnarray}$ ] Ich weiss doch, dass Betrag von [ $\begin{eqnarray} \frac{(bN-b) +...+(bn -b)}{n} \end{eqnarray}$ ] nach Voraussetzung < epsilon. Also verschwindet klein wird. Oder?
08.11.2009, 13:30	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Drück mal bei meinem Beitrag auf zitieren, dann siehst du auch wie das mit Latex geht...So ist das doch unschön... Aber inhaltlich richtig. Dass der erste Summand auch verschwindend klein wird, ist fast trivial. Schließlich ist der Zähler eine endliche Summe endlicher Summanden.
08.11.2009, 13:48	Moritz87	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für den Hinweis Also ist $\begin{eqnarray} \left\|\frac{b_1+\dotsb+b_{N-1}+b_N + \dotsb + b_n}{n}-b \right\| \end{eqnarray}$ was ja dem Grenzwert der Folge Bn entspricht < epsilon + epsilon < 2epsilon und konvergiert somit.

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