Schwerpunktberechnung

07.11.2009, 15:53

MBS

Schwerpunktberechnung

es ist ein Körper gegeben, der durch folgende Flächen begrenzt wird:
$\begin{eqnarray*} z=x^{2}+y^{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z=1 \end{eqnarray*}$

Für das Volumen habe ich in Zylinderkoordinaten das Integral $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{1}\int_{0}^{r^{2} }~r~dzdrdphi \end{eqnarray*}$ aufgestellt und erhalte als ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{2} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{2\pi }\int_{0}^{1}\int_{0}^{r^{2} }~r*z~dzdrdphi \end{eqnarray*}$ bekomme ich $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{6} \end{eqnarray*}$ raus.

Mit diesen beiden ergebnissen komme ich dann (mittels $\begin{eqnarray*} \frac{\frac{\pi }{6}}{\frac{\pi }{2}} \end{eqnarray*}$ ) auf $\begin{eqnarray*} z_s=\frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

das ist aber i-wie komisch, denn das Volumen nimmt ja für größer werdende z-Werte Im Intervall von 0 bis 1 stetig zu. Also müsste doch der Schwerpunkt bei mehr als z=0.5 liegen?! Wo liegt der fehler?

07.11.2009, 16:16

MBS

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Nachtrag
also bei den Integralen habe ich mich nicht verechnet - das habe ich eben mit nem programm überprüft. höchstens das integral falsch aufgestellt...

08.11.2009, 09:30

Tom Servo

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RE: Nachtrag

Zitat:

Original von MBS
also bei den Integralen habe ich mich nicht verechnet - das habe ich eben mit nem programm überprüft. höchstens das integral falsch aufgestellt...

Dann stelle ich das auch falsch auf, denn ich bekomme auch dein Ergebnis.
Wenn ich es aber als Rotationskörper rechne komme ich auf $\begin{eqnarray*} z_s=\frac{3}{5}=0.6 \end{eqnarray*}$ .
Vielleicht meldet sich noch jemand mit Ahnung...

Gruß
Tom

08.11.2009, 10:57

Leopold

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Die Integrale stimmen nicht. Es muß

$\begin{eqnarray*} \int_0^1 \int_0^{2 \pi} \int_0^{\sqrt{z}} r~\dd r~\dd \varphi~\dd z \ \ \ \text{bzw.} \ \ \ \int_0^1 \int_0^{2 \pi} \int_0^{\sqrt{z}} rz~\dd r~\dd \varphi~\dd z \end{eqnarray*}$

heißen. Die Integrationen über $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ können auch vertauscht werden. Bei der von dir gewählten Integrationsreihenfolge wird es ein bißchen komplizierter. Dann lauten die Integrale

$\begin{eqnarray*} \int_0^{2 \pi} \int_0^1 \int_{r^2}^1 r~\dd z~\dd r~\dd \varphi \ \ \ \text{bzw.} \ \ \ \int_0^{2 \pi} \int_0^1 \int_{r^2}^1 rz~\dd z~\dd r~\dd \varphi \end{eqnarray*}$

Der Wert von Tom Servo stimmt übrigens nicht.

08.11.2009, 11:40

MBS

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thx leopold. mit deinen Integralen komme ich auf z_s=2/3. Das schaut auf jeden fall schonmal plausibel aus.
Allerdings verstehe ich nicht, wie du auf die Integrationsgrenzen r^2 bis 1 bzw. bei den anderen Integralen auf 0 bis $\begin{eqnarray*} \sqrt{z} \end{eqnarray*}$ kommst. kannst du das noch erklären?

08.11.2009, 18:31

Leopold

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Hast du dir den Körper schon einmal skizziert? Dabei handelt es sich um ein sogenanntes Paraboloid.
Wenn du dir bei deiner Integrationsreihenfolge für die beiden äußeren Integrationen $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ fest gewählt denkst, dann finden sich Punkte des Körpers erst ab der Höhe $\begin{eqnarray*} z = r^2 \end{eqnarray*}$ .

08.11.2009, 19:45

MBS

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Zitat:

Original von Leopold
Hast du dir den Körper schon einmal skizziert? Dabei handelt es sich um ein sogenanntes Paraboloid.
Wenn du dir bei deiner Integrationsreihenfolge für die beiden äußeren Integrationen $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ fest gewählt denkst, dann finden sich Punkte des Körpers erst ab der Höhe $\begin{eqnarray*} z = r^2 \end{eqnarray*}$ .

den körper habe ich mir schonmal plotten lassen. ich weiß also ziemlich genau wie er aussieht Freude

aber scheinbar hast du meine frage nicht gründlich genug gelesen Big Laugh

das mit dem r^2 ist mir klar, ist ja schließlich ne parabel. habe ich auch rausbekommen (s. eingangspost von mir). aber ich verstehe halt net wieso r^2 bis 1 anstatt 0 bis r^2!!!

08.11.2009, 20:48

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
... dann finden sich Punkte des Körpers erst ab der Höhe $\begin{eqnarray*} z = r^2 \end{eqnarray*}$ .

Wie war das mit dem gründlich Lesen?

08.11.2009, 21:31

MBS

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hmm, kann mir gerade nix darunter vorstellen.

auf die andere variante, die du vorgeschlagen hast, bist du aber net eingegangen. das würde mich auch mal interessieren.

09.11.2009, 06:42

Leopold

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Die Formulierung "der durch folgende Flächen begrenzt wird" enthält ja versteckt eine Beschreibung des Integrationsbereichs durch Ungleichungen. Es handelt sich nämlich dabei um die Menge $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ aller Punkte $\begin{eqnarray*} (x,y,z) \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} B: \ \ x^2 + y^2 \leq z \leq 1 \end{eqnarray*}$

Über dieses Ungleichungssystem muß man sich zunächst einmal klar werden: $\begin{eqnarray*} x^2 + y^2 = z \end{eqnarray*}$ bestimmt ja nur eine Fläche, nämlich die Oberfläche des Paraboloids. Die Punkte im Innern des Paraboloids haben größere $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ -Werte, daher $\begin{eqnarray*} z \geq x^2 + y^2 \end{eqnarray*}$ .

Für Polarkoordinaten in der $\begin{eqnarray*} xy \end{eqnarray*}$ -Ebene (nichts anderes sind Zylinderkoordinaten, $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ bleibt ja) gilt allgemein

$\begin{eqnarray*} x = r \cos \varphi \, , \ \ y = r \sin \varphi \ \ \ \text{mit} \ r \geq 0 \, , \ 0 \leq \varphi < 2 \pi \end{eqnarray*}$

Setzt man das oben in $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ein, erhält man

$\begin{eqnarray*} r^2 \leq z \leq 1 \end{eqnarray*}$

1. Hier kommt $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ gar nicht mehr vor, daher ist über alle möglichen $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ zu integrieren: $\begin{eqnarray*} 0 \leq \varphi < 2 \pi \end{eqnarray*}$ .

2. Beginnt man nun wie ich mit der Integration über $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ , so ist die Ungleichung $\begin{eqnarray*} r^2 \leq z \leq 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} z \in [0,1] \end{eqnarray*}$ erfüllbar. So hat man das Intervall für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ .

3. Das Intervall für $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ erhält man jetzt durch Auflösen der Ungleichung $\begin{eqnarray*} r^2 \leq z \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} r \leq \sqrt{z} \end{eqnarray*}$

4. Beginnt man wie du mit der Integration über $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ , so ist die Ungleichung $\begin{eqnarray*} r^2 \leq z \leq 1 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} r \in [0,1] \end{eqnarray*}$ erfüllbar. Das führt auf das Intervall für $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ .

5. In Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ sucht man jetzt das Intervall für $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ . Das steht aber schon da, denn $\begin{eqnarray*} r^2 \leq z \leq 1 \end{eqnarray*}$ ist bereits nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ aufgelöst.

Ich würde übrigens überhaupt keine Zylinderkoordinaten einführen, sondern so rechnen:

$\begin{eqnarray*} \int_B z~\dd (x,y,z) = \int_0^1 \left( \ \int \limits_{x^2 + y^2 \leq z} z~\dd (x,y) \right)~\dd z = \int_0^1 z \left( \ \int \limits_{x^2 + y^2 \leq z} \dd (x,y) \right)~\dd z \end{eqnarray*}$

Jetzt würde ich mich darauf berufen, daß $\begin{eqnarray*} \int \limits_{x^2 + y^2 \leq z}~\dd (x,y) \end{eqnarray*}$ den Flächeninhalt eines Kreises vom Radius $\begin{eqnarray*} \sqrt{z} \end{eqnarray*}$ berechnet, mithin den Wert $\begin{eqnarray*} \pi z \end{eqnarray*}$ hat:

$\begin{eqnarray*} \int_B z~\dd (x,y,z) = \pi \int_0^1 z^2~\dd z \end{eqnarray*}$

Das ist letztlich die Auffassung der Körpers als Rotationskörper.

09.11.2009, 09:50

MBS

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ok thx leopold für die ausführliche erklärung

09.11.2009, 11:59

Tom Servo

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Ich bedanke mich ebenfalls...
Gruß
Tom

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