Grenzwertbestimmnung

30.09.2006, 20:56

Fahnder

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Grenzwertbestimmnung

Berechnen sie jeweils mit den Grenzwert Sätzen die Grenzwerte der Zahlenfolgen ( $\begin{eqnarray*} a_{n} \end{eqnarray*}$ )

a) $\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{2n^2-2}{n^2-n-3} \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{8n^2-2}{3-9n^2} \end{eqnarray*}$

c) $\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{6n^3-4n}{24n^3-5n} \end{eqnarray*}$

d) $\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{2n^2}{3n^3-5} \end{eqnarray*}$

e) $\begin{eqnarray*} a_{n}=\frac{2n^2+1}{n+12} \end{eqnarray*}$

Weiß jemand Rat?

30.09.2006, 20:59

mercany

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Bestimmt. Wie wäre es aber, wenn du es erst einmal selber versuchst.
Wenn du hängst, können wir gerne weiterhelfen.

Gruß, mercany

30.09.2006, 21:34

Fahnder

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bei a.) 2 bei b.) -8/9

c.) 1/4

bei d.) und e.) weiß ich irgendwie nicht wie ich rechnen soll?!

und ich weiß nicht genau z.B. bei a.) wie man das ordnungsgemäß hinschreibt mit dem "lim" n gegen unendlich usw. kannst das mir mal am beispiel von a.( zeigen?
wäre nett danke

30.09.2006, 21:35

swerbe

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Bei allen zu berechnenden Grenzwerten läuft es auf's selbe hinaus:

Teile jeweils im Zähler und im Nenner alle vorkommenden Summanden durch die höchste vorkommende Potenz von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und betrachte dann den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ .
So wird vieles wegfallen und alles löst sich in Wohlgefallen auf Augenzwinkern

Augenzwinkern

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} a_n=\frac{5n^2+1}{n^2}\quad \lim_{n\to \infty}\frac{5+ \frac{1}{n^2}}{1}=5 \end{eqnarray*}$

Gruß
swerbe

30.09.2006, 22:09

Fahnder

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tja bei d.) und e.) weiß ich echt nicht wie ich das machen soll?

was soll ich da ausklammern n² n^3 ?? und was steht dann im Zähler?

30.09.2006, 22:14

therisen

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Klammere bei d) $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ und bei e) $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aus.

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30.09.2006, 22:24

Fahnder

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d.) lim {n²*(2)/n²*(3n-5/n²)} =2/3n <<<kann man das noch deuten?
>unendl. ist es denn richtig?

e.) {n*(2n+1/n) / n*(1+12/n)} = 2n+0 / 1+0 = 2n

30.09.2006, 22:28

therisen

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Ich kann leider nichts erkennen. Benutze mal $\begin{eqnarray*} \text{LaTeX} \end{eqnarray*}$ , d.h. den Formeleditor. Jedenfalls konvergiert d) gegen Null.

30.09.2006, 23:00

Fahnder

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e.) $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to 8} (n*(2n+\frac{1}{n})/<br /> (n*(1+\frac{12}{n}) =2n+0/1+0 =2n \end{eqnarray*}$

d.) $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to 8} (n2*(2)/(n²*(3n-\frac{5}{n²} ) \end{eqnarray*}$

sry hab das nicht ganz gebacken bekommen...

30.09.2006, 23:07

therisen

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Das schaut ja furchtbar aus geschockt

geschockt

Du meintest wohl bei e)

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n*(2n+\frac{1}{n})}{n*(1+\frac{12}{n})} =\frac{2n+0}{1+0} =2n \end{eqnarray*}$

2n ist doch kein Grenzwert wenn n gegen Unendlich läuft! So geht es richtig: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n\left(2n+\frac{1}{n}\right)}{n\left(1+\frac{12}{n}\right)} =\lim_{n \to \infty} \frac{2n+0}{1+0} = \infty \end{eqnarray*}$

und d) kann ich bei bestem Willen nicht entziffern. Klicke auf "Zitieren" um meinen Latex-Code zu sehen und ihn für deine Zwecke zu verwenden.

01.10.2006, 01:37

JochenX

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Zitat:

Original von therisen
So geht es richtig: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \frac{n\left(2n+\frac{1}{n}\right)}{n\left(1+\frac{12}{n}\right)} =\lim_{n \to \infty} \frac{2n+0}{1+0} = \infty \end{eqnarray*}$

Nö, das ist auch falsch - du kannst doch nicht teilweise den Grenzwert berechnen, aber nicht ganz.
Eben das tust du nach dem ersten Gleichheitszeichen - du berechnest ihn teilweise (0), lässt n teilweise noch stehen (2n).

Lasse den vorletzten Term einfach weg und schreibe gleich unendlich.

Jaja, die Schreibweisen.... inhaltlich natürlich nix zu meckern.

01.10.2006, 08:31

Fahnder

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also ich machs anders:

limes von n gegen unednlich in Klammern n²*(2) geteielt durch in Klammern n²*(3n-5durchn²)) und weiter bin ich nicht gekommen...

ist es jetzt zu verstehen?

01.10.2006, 10:57

klarsoweit

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Zitat:

Original von swerbe
Teile jeweils im Zähler und im Nenner alle vorkommenden Summanden durch die höchste vorkommende Potenz von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und betrachte dann den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ .

Besser: die im Nenner höchste vorkommende Potenz in Zähler und Nenner ausklammern und dann kürzen.

Zitat:

Original von therisen
Klammere bei d) $\begin{eqnarray*} n^2 \end{eqnarray*}$ und bei e) $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aus.

Bei d) besser n³ ausklammern:

$\begin{eqnarray*} a_{n} =\frac{2n^2}{3n^3-5} = \frac{n^3 \cdot \frac{2}{n}}{n^3 \cdot (3 - \frac{5}{n^3})} \end{eqnarray*}$
Und jetzt kürzen und dann Grenzwert bilden.

01.10.2006, 11:16

Fahnder

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also doch n^3 ok thx

01.10.2006, 11:19

Fahnder

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= $\begin{eqnarray*} \frac{0}{3} \end{eqnarray*}$ kommt dann aber raus was ist hier der grenzwert?

01.10.2006, 11:46

zweiundvierzig

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Zur Verdeutlichung etwas ausführlicher:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~{a_{n}} =\lim_{n \to \infty}~{\frac{2n^2}{3n^3-5}} = \lim_{n \to \infty}~{\frac{n^3 \cdot \frac{2}{n}}{n^3 \cdot \left(3 - \frac{5}{n^3} \right)}}=\lim_{n \to \infty}~{\frac{\frac{2}{n}}{3-\frac{5}{n^3}}}=\frac{\lim_ {n \to \infty}~{\frac{2}{n}}}{3-\lim_{n \to \infty}~{\frac{5}{n^3}}}=\lim_{n \to \infty}~{\frac{0}{3}}=\lim_{n \to \infty}~{0}=0 \end{eqnarray*}$

01.10.2006, 12:06

klarsoweit

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Zitat:

Original von zweiundvierzig
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}~{\frac{0}{3}}=\lim_{n \to \infty}~{0}=0 \end{eqnarray*}$

Also das ist so nicht sauber. Die 0 im Zähler bzw. die 3 im Nenner ergibt sich ja aus der Grenzwertbildung. Da darf also kein lim mehr vorstehen. So wäre es richtig:

$\begin{eqnarray*} \frac{\lim_ {n \to \infty}~{\frac{2}{n}}}{3-\lim_{n \to \infty}~{\frac{5}{n^3}}}=\frac{0}{3-0}=0 \end{eqnarray*}$

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