Lineare Abhängigkeit

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Eumelpeter Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abhängigkeit
Hallo,
Ich habe die drei Vektoren (1 2 3) (4 5 6) (7 8 9) und soll diese auf Lineare Ab/ - Unabhänigkeit testen...
Ich wollte das mit der Methode der Linearkoeffizienten lösen, also habe ich die Gleichungen: a + 4b + 7c = 0 ; 2a + 5b + 8c = 0 ; 3a + 6b + 9c = 0;
Daraus 1 Gleichung: a = -4b -7c
eingesetzt in 2 Gleichung: -8b -14c + 5b +8c... aufgelöst nach b: b=-2c
in 3 setzte ich nun a und gleichzeitig b ein, damit ich c ausrechnen kann...
also erstmal a einsetzen => 3*(-4b-7c) + 6*(b) + 9c = 0; jetzt b: 3*((-4*-2c)-7c) + 6*-2c + 9c = 0;
3*8c - 3*7c -12c +9c = 0; 24c - 21c - 12c + 9c = 0;
-9c + 9c = 0; ======> 0=0 ... aber was heisst das nun für abhängigkeit? ja oder nein?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst nachsehen, ob ausser der trivialen Lösung (0; 0; 0), die es auf jeden Fall gibt, auch noch andere Lösungen existieren. Das ist dann der Fall, wenn bei der Subtraktion oder Addition der Gleichungen Nullzeilen entstehen. Dann ist nämlich das System abhängig und daher dann auch die Vektoren*.

Statt deine Gleichungen unübersichtlich in einer Wurst hintereinander zu schreiben, solltest du diese untereinander anordnen und danach die Gleichungsmatrix erstellen. Durch Zeilenumformungen ist diese Matrix auf Zeilenstufenform zu bringen, um somit zu den Lösungen zu gelangen. Oder zumindest ist die Umformung so durchzuführen, dass man sieht, ob eine Nullzeile entstehen kann.

* Du erkennst dies auch daran, dass eine Gleichung nach richtiger Elimination einer Variablen dasselbe aussagt wie eine der anderen Gleichungen.

mY+
 
 
Eumelpetr Auf diesen Beitrag antworten »

Habe es jetzt über die Determinanten Regel hinbekommen...
Habe jetzt aber neue Fragen eher allgemeine:
Ich habe 4 Vektoren und soll sagen ob linear abhängig oder net...
Ich kann zeigen, dass aus Vektor 1 und 2, der dritte Vektor gebildet werden kann... daher sind diese linear abhängig... Kann ich dann sofort sagen das alle 4 linear abhängig sind oder nur die 3 ?!

2. Frage zur Determinanten Regel... Ich kann ja anhand des Produkts der Diagonale ablesen ob linear abhängig oder nicht... Wenn ich aber eine 4x3 Matrix habe, kann ich dann die Determinanten Regel anwenden? Wenn ja, wo ist dann meine Hauptdiagonale aus der ich das Produkt bilde?
z.b.
|1 1 0|
|0 2 1|
|1 3 1|
|0 4 0|

Dann muss ich ja umformen, also einfach mal als Beispiel
|1 1 0|
|0 2 1|
|0 0 1|
|0 0 4|
Ich muss das ja in die Form bringen, dass links der Diagonale nur Nullen sind und dann daraus das Produkt bilden... Nur wo ist hier dann die Hauptdiagonale? Ich vermute, dann kann ich diese Regel nicht anwenden oder?


3.Frage
Ich habe zwei 5x2 Matrizen, z.B.
|1 6|
|2 7|
|3 8|
|4 9|
|5 10|

Bei einer 2x2 Matrix kann ich mit Determinanten Regel einfach
bei | 1 2 |
| 3 4 |
rechnen : 1*4-2*3
Und Fertig bin ich
Aber wie funktioniert das bei den 5x2 Matrizen ?! Geht das überhaupt? oder bei den 5x4?
Ich denke, ich sollte dann einfach per Gauß-Eliminationsverfahren eine Nullzeile finden, damit ich sagen kann, dass sie linear abhängig sind?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Eumelpetr
...
Ich denke, ich sollte dann einfach per Gauß-Eliminationsverfahren eine Nullzeile finden, damit ich sagen kann, dass sie linear abhängig sind?


Dieser letzte Satz sagt genau aus, wie es wirklich läuft. Fast alles andere, was du geschrieben hast, führt zu nichts oder ist falsch.

Die Determinantenmethode kann prinzipiell nur bei quadratischen Matrizen angewandt werden bzw. es ist eine Determinante sinnvollerweise immer quadratisch. Und dabei ist keineswegs nur das Produkt einer Diagonale maßgebend, woher hast du das? Bei linearer Abhängigkeit muss der gesamte Wert der Koeffizientendeterminante Null sein.
____________________________________

Wenn von 4 Vektoren bereits 3 linear abhängig sind, sind selbstverständlich auch alle 4 linear abhängig, das folgt aus der Definition der linearen Abhängigkeit mittels der nichttrivialen Relation.

mY+
Eumelpetr Auf diesen Beitrag antworten »

Also unser Professor hat uns dazu gesagt, wenn man diese 3x3 Matrix auf
|1 2 3|
|0 4 5|
|0 0 5|
, d.h. links der Diagonale ist alles 0 und dann daraus das Produkt der Diagonalen bildet ( in diesem Fall 1*4*5= 20 => nicht linear abhängig, sprich unabhängig) kann man heraus finden ob die Vektoren linear abhängig oder nicht sind.. Nur falls das Produkt 0 ist, sind sie linear abhängig... Aber ich sehe gerade selber, dass wenn das Produkt 0 ist, bekomme ich auf jedenfall eine Nullzeile , d.h. es ist ja das gleiche wie eine Nullzeile finden ^^
Aber danke für deine Hilfe!!
Eumelpetr Auf diesen Beitrag antworten »

Was mir gerade einfällt...
Wenn ich anhand einer 5x3 oder 5x4 Matrix lineare Unabhängigkeit zeigen soll, wie stelle ich das am Besten an?
Nullzeile werde ich ja nicht finden, von daher kann ich mich da totsuchen oder gibt es dann irgendwelche Anhaltspunkte woran ich sehen kann, dass sie linear unabhängig sind?
Als einziges hätte ich da die Idee ein Gleichungssystem aufzustellen mit Koeffizienten Alpha, Beta, Gamma davor und zu schauen ob alle Koeffizienten = 0 werden...
Gibt es sonst noch Möglichkeiten lineare Unabhängigkeit zu zeigen?
Ist es eigentlich legitim, wenn ich eine 5x4 matrix habe, per Gauß Eliminations die Vektoren so umzuformen, dass in einer Zeile 3, 2 oder 1 Null entsteht... Dann daraus ein Gleichungssystem machen mit Alpha, Beta, Gamma, Dellta vor den Vektoren, dieses gleich dem Nullvektor setzen und so zeigen, dass Alpa Beta usw. =0 sind, d.h. die Vektoren sind linear unabhängig ?
( Dann könnte bei dem Gleichungssystem mit 4 Vektoren bei 3 Nullen in einer Zeile z.b. sofort sagen, dass z.b. alpha = 0 wäre)
Die Frage ist nur ob ich zuerst per Gauß die Zeilen umformen darf und daraus ein Gleichungssystem mit den neuen Vektoren Werten!

Schönen Sonntag noch !
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn unterhalb der Hauptdiagonale lauter Nullen stehen, dann genügt das Produkt der Glieder in der Hauptdiagonale, das ist ja klar (dies folgt sofort aus dem Entwicklungssatz) - aber davon hast du zuvor ja nichts gesagt!

Eine 4 x 3 - Matrix hat 4 Zeilen und 3 Spalten, also wird es sich bei dieser um 3 4-dimensionale Vektoren handeln. Diese könnten durchaus linear abhängig sein, aber auch der gegenteilige Fall kann eintreten. Der Rang der Koeffizientenmatrix kann - bei 4 Zeilen und 3 Spalten - jeden Wert von 1 bis 3 annehmen, aber es gibt immer mehr Zeilen als der Rang beträgt. Wenn es also mehr Gleichungen als Unbekannte gibt, kann eine Nullzeile entstehen oder auch nicht, und das muss eben mit dem Algorithmus von Fall zu Fall geprüft werden.

Bei einer 3 x 4 - Matrix handelt es sich jedoch um 4 3-dimensionale Vektoren. Diese sind auf jeden Fall linear abhängig. Denn bei weniger Gleichungen als Unbekannte kann eine Variable mit einem Parameter ungleich Null belegt werden. Der Rang der Koeffizientenmatrix kann - bei 4 Spalten (Variablen) - höchstens zu 3 werden, denn der Zeilenrang ist maximal 3, weil es nur 3 Zeilen gibt. Die Anzahl der Variablen ist jedoch 4.

mY+
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