pyramide ausrechnen nur mit zwei maßen

07.11.2009, 18:57

Kasachstan

pyramide ausrechnen nur mit zwei maßen

hallo,

wir haben von unseren Lehrern eine Hausaufgabe bekommen die lautet: wir sollen eine Pyramide bauen. Ich habe aber nur zwei Maße und zwar Volumen: 1024,8cm und Oberfläche: 631,6cm. Wie bekomme ich denn jetzt die anderen Maße raus ich brauche dafür eine Formel mit Rechenweg.

07.11.2009, 19:33

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$\begin{eqnarray*} V=\frac{1}{3}*a²*h O=a²+2*a*hs oder O=a²+2*a*\sqrt{((a/2)²+h²)} \end{eqnarray*}$

so jetzt musst du in beiden gleichungen auf a oder h umstellen
SRY wenn es falsch ist, ich hatte es selber noch nicht gehabt!! nur so ähnlich aber da war es etwas leichter wenn ich mich errinere^^
wenn du nach a oder h umgestellt hast musst du die gleichungen gleich setzen und dann nochmal umstellen auf den letzten wert der noch offen ist^^

07.11.2009, 19:36

NGL

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RE: pyramide ausrechnen nur mit zwei maßen
Hallo
Am besten zeichnest du dir für diese Aufgabe eine Pyramide, dann sollte es klappen.

h ist die Höhe der Pyramide, h(a) die Höhe der Seiten der Pyramide.

Du kennst ja die Formel für das Volumen: V=(G*h)/3
Du kennst die formel für die Oberfläche: A=a^2+2a*h(a) , wenn man für die Grundseitenlänge a annimmt.

Dann musst du nur noch umformen:

Du weisst, G = a^2
Und h(a) kannst du mit dem Pythagoras berechenen. So kannst du dann das h(a) durch eine wurzel ersetzten, in der nur noch h und a vorkommt. So hast du zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten, das sollte kein problem sein.

07.11.2009, 19:42

NGL

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RE: pyramide ausrechnen nur mit zwei maßen
Die Formel die mostwanted gepostet hat stimmt so, aber versuche auch zu verstehen, wie man darauf kommt. Wie gesagt, mit Skizze ist es nicht schwer. Zeichne dir ein, was du zur Berechnung von Volumen und Oberfläche brauchst. Dann setzt du das in die Formeln ein und formst so um, dass schlussendlich zwei Unbekannte übrigbleiben. Ist eigentlich nur Umformen und Pythagoras.

07.11.2009, 20:04

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also ich hab jetzt nen kleinen test bei mir gemacht, hab einfach für h 5cm und für a 10cm genommen O und V ausgerechnet, und dann umgestellt
am ende kam ich auf 3.2cm=h :/
hab ne frage, und zwar kann man in meiner gleichung die 2 (a/2) durch ein befehl wegkriegen? also *2 damit es da weg geht? im wurzel drin halt..
$\begin{eqnarray*} O=a²+2*a*\sqrt{(a/2)²+h²}........./ *2..../2 O*2/2=a²+a*\sqrt{((a)²+h²)} \end{eqnarray*}$
dann könnte man nähmlich wurzel einfach durchstreichen und ^2 auch oder? oder geht das da nicht?

07.11.2009, 20:17

NGL

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Du kannst nich einfach etwas aus der Wurzel herausnehmen, wenn unter der Wurzel eine Summe steht. Du kannst auch nicht beim Multiplizieren nur einen Summanden unter der Wurzel multiplizieren, sondern, du musst die ganze Wurzel damit multiplizieren. Das stimmt so nicht, denn wenn du beim Umformen O* 2/2 =... hast, dann ist das das Gleiche, wie O*1, also O. Somit müsste in deiner Umformung in beiden Gleichungen auf der rechten Seite das genau gleiche stehen, da ja beide O= sind. Und Kannst ja selber Mal überprüfen, ob die beiden rechten Seiten des = den gleichen Wert haben.

Aber die Wurzel kriegst du ja ganz einfach weg, indem du potenzierst.

Wenn du $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{a}{b} +1} \end{eqnarray*}$ mit b multiplizierst, dann gibt das nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt{a + 1} \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} (\sqrt{\frac{a}{b} + 1}) *b \end{eqnarray*}$

07.11.2009, 20:28

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hm
$\begin{eqnarray*} O=a²+2*a*\sqrt{(a/2)²+h²} O²=a²+2*a*(\sqrt{((a/2)²+h²)})² \end{eqnarray*}$
jetzt könnte man doch die wurzel und ^2 kürzen oder? dann bleibt nur das übrig:
$\begin{eqnarray*} O²=a²+2*a*((a/2)²+h²) \end{eqnarray*}$
oder?

07.11.2009, 20:48

NGL

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Nicht ganz:

Du kannst beim potenzieren nicht nur einen Summanden potenzieren. Es müsste dir aufgefallen sein, dass das a^2 nach dem potenzieren nicht a^2 bleiben kann, sondern a^4 wird.

Wenn du $\begin{eqnarray*} a^{2} + 2*a*\sqrt{\frac{a}{2}^{2} + h^{2} } \end{eqnarray*}$ potenzierst, dann gibt das eine binomische Formel, nämlich:

(sorry, ^2 unter der Wurzel gilt für den ganzen Bruch, nicht nur für das a. aber das sollte klar sein.)

$\begin{eqnarray*} \left(a^{2} + 2*a*\sqrt{\frac{a}{2}^{2} + h^{2} }\right)^{2} \end{eqnarray*}$ ist also von der Form (a+b)^2

So hast du dann aber beim ausmultiplizieren immernoch die Wurzel drin.

Um die Wurzel wegzukriegen, musst du zuerst das a^2 auf die linke seite bringen und dann erst potenzieren. also machst du zuerst - a^2 und dann potenzierst du.

07.11.2009, 20:57

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also:
$\begin{eqnarray*} O=a²+2*a*\sqrt{(a/2)²+h²} O-a²/2/a=\sqrt{(a/2)²+h²} (O-a²)/(2*a)=\sqrt{(a/2)²+h²} \end{eqnarray*}$
hm dann so?
$\begin{eqnarray*} ((O-a²)/(2*a))²=((a/2)²+h²) ((O-a²)/(2*a))²=(a)²/4+h² \end{eqnarray*}$

07.11.2009, 21:03

NGL

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genau, müsste so stimmen, wenn ich da nicht etwas übershene habe. es ist so, dass wenn du eine Wurzel wegpotenzieren willst, geht das nicht, wenn die Wurzel Teil einer Summe ist, da wie gesagt es dann eine binomische Formel wird. darum muss zuerst immer die Wurzel alleine stehen.

07.11.2009, 21:12

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so:
$\begin{eqnarray*} O=a²+2*a*\sqrt{((a/2)²+h²)} ((O-a²)/(2*a))²=(a)²/4+h²......./+(a²)² \end{eqnarray*}$

muss man das zweite ^2 mitnehmen von den klammern da?
$\begin{eqnarray*} (O/(2*a))²=(a)²/4+h²+(a²)² (O/2)²=(a)²/4+h²+(a²)²/(a)² \end{eqnarray*}$

bis hierhin wollte ich nach a umstellen, jetzt muss man halt die wurzeln etc ziehen wird irgendwie zulang und ich hab das gefühl es ist falsch Big Laugh

ab hier auf h
$\begin{eqnarray*} ((O-a²)/(2*a))²=(a)²/4+h².........../*4 ((O-a²)/(2*a))²*4=(a)²+h².........../-(a)² ((O-a²)/(2*a))²*4-(a)²=h²........./\sqrt{} \sqrt{((O-a²)/(2*a))²*4-(a)²}=h \end{eqnarray*}$

07.11.2009, 21:34

NGL

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Du hast einen Fehler. Wenn du die Gleichung mit 4 multiplizierst, dann musst du jeden Summanden mit 4 multiplizieren, also auch das h^2.

Du kannst aber ganz einfach bei deiner zweiten Gleichung - (a^2/2)^2 auf beiden Seiten rechen. So bleibt rechts nur das h^2. Dann die Wurzel ziehen, also über den gesamten Ausdruck links ein Wurzelzeichen und rechts bleibt das h.

Schlussendlich hast du dann:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\left(\left( \frac{O-a^{2}}{2*a} \right) ^{2} - \left(\frac{a^{2} }{2} \right) ^{2} \right) } = h \end{eqnarray*}$

Das unter der Wurzel lässt sich sicher noch vereinfachen, aber das sind dann grundlegende Matheumformungen, denke die kannst du sicher. ich muss jetzt leider weg.

Schönes Wochenende

07.11.2009, 21:43

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kannst du zwischenschritt posten? also mit latex...

Zitat:

Du kannst aber ganz einfach bei deiner zweiten Gleichung - (a^2/2)^2 auf beiden Seiten rechen. So bleibt rechts nur das h^2. Dann die Wurzel ziehen, also über den gesamten Ausdruck links ein Wurzelzeichen und rechts bleibt das h.

kann ich nicht folgen :/
ASO jetzt hab ich es Big Laugh

das problem ist es jetzt bei mir
wie kriegt man die ganzen a's unter der wurzel weg, wenn man die gleichung mit V gleich setzt(V auch nach h umgestellt)

07.11.2009, 22:32

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$\begin{eqnarray*} O=a²+2*a*\sqrt{((a/2)²+h²)} \left(\frac{\left(O-a²\right) }{\left(2*a\right) } \right)²=\left(\frac{a}{2} \right) ²+h² \sqrt{\left(\frac{\left(O-a²\right) }{\left(2*a\right) } \right)²-\left(\frac{a}{2} \right) ²} =h V=\frac{a²*h}{3} \frac{V*3}{a²} =h \sqrt{\left(\frac{\left(O-a²\right) }{\left(2*a\right)² } \right)²-\left(\frac{a}{2} \right) ²} =\frac{V*3}{a²} {\left(\frac{\left(O-a²\right) }{\left(2*a\right) } \right)²-\left(\frac{a}{2} \right) ²} = \left({V*3}{a²}\right) ² {\left(\frac{\left(O-a\right) }{\left(2\right) } \right)²-\left(\frac{a}{2} \right) ²} = \left({V*3}{/a²}\right) ² \end{eqnarray*}$
a² mit a gekürzt soweit richtig?

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