Integralaufgabe mit Trigonometrie

07.11.2009, 20:11

gymnasium12

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Integralaufgabe mit Trigonometrie

Also ich übe für meine erste Klausur und da ist eine Aufgabe die mich schon fast den Tag geksotet hat(übertrieben gesagt):
-------------
AUFGABE 4 (WAHLTEIL)
Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = 2sin(x/2).

Die Funktion f schließt im Bereich 0<=x <=2pi mit der x-Achse eine Fläche ein.
Eine Parallele zur x-Achse durch den Kurvenpunkt P (z / f(z)) halbiert diese Fläche.
Bestimme z.
-------------
Lösung: z ist ungefähr 0,74. (hat der Lehrer so gesagt)
-------------------
Also ich habe schon vieles gemacht und der letzte Lösungsweg:
--
Ich habe mir gedacht damit die Grenzen nicht so komplex werden "halbiere" ich das Schaubild, da es bei pi achsensymetrisch ist.

Dann hab ich mir geadcht dass die gesamte Fläche

A= $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi }~(2*sin (\frac{x}{2}) ~dx \end{eqnarray*}$

doppelt so groß ist, wie die Fläche zwischen f und der Parallelen also

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{2}=A_1 \end{eqnarray*}$

also
$\begin{eqnarray*} A_1=\int_{z}^{\pi }~[(2*sin (\frac{x}{2})) - (2*sin (\frac{z}{2})) ]~dx \end{eqnarray*}$

für A hab ich 4 rausbekommen und das sollte eigentlich richtig sein

daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} 2=\int_{z}^{\pi }~[(2*sin (\frac{x}{2})) - (2*sin (\frac{z}{2})) ]~dx \end{eqnarray*}$

aufgelöst hab ich dann:

$\begin{eqnarray*} 2=-2\pi *sin(\frac{z }{2}) +4*cos(\frac{z }{2}) +2z*sin(\frac{z }{2}) \end{eqnarray*}$

wenn man durch 2 teilt sogar:

$\begin{eqnarray*} 1=-\pi *sin(\frac{z }{2}) +2*cos(\frac{z }{2}) +z*sin(\frac{z }{2}) \end{eqnarray*}$

--------

und jetzt komm ich nicht mehr weiter ich weiß nicht was ich mit der gleichung machen soll. ich brauche hilfe^^ Dankei m Voraus!

08.11.2009, 11:49

klarsoweit

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RE: Integralaufgabe mit Trigonometrie
Für die Fläche A1 integrierst du von z an. Aber was hat das mit einer Parallelen zur x-Achse zu tun? verwirrt

verwirrt

08.11.2009, 14:47

gymnasium12

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RE: Integralaufgabe mit Trigonometrie
ich kann doch nicht einfach von z an integrieren odeR?

die gerade mit dem y-achsenabschnitt 2*sin(z/2)- wobei z zwischen 0 und 2pi liegt- und der steigung 0, da parallel zu x achse soll ja die fläche halbieren

08.11.2009, 17:24

giles

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Hallo,

Also ich hab jetzt den Ansatz gehabt die Funktion um $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ nach unten zu verschieben und von $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ zu integrieren was dann 2 sein soll, d.h.

$\begin{eqnarray*} \int ^\pi _{2\sin(\frac{z}{2})}(2\sin(\frac{x}{2})-z)\dx=2 \end{eqnarray*}$

damit krieg ich $\begin{eqnarray*} z\approx0,72 \end{eqnarray*}$ raus. Mehr Zeit hab ich jetzt leider nicht, aber vielleicht hilft dir das als neuer Ansatz.

MfG

08.11.2009, 17:52

gymnasium12

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du hast als untere grenze den y-wert von z. das ist doch keine grenze..

08.11.2009, 18:08

gymnasium12

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und warum $\begin{eqnarray*} 2\sin(\frac{x}{2})-z \end{eqnarray*}$

die gerade istdoch nicht $\begin{eqnarray*} y=z \end{eqnarray*}$ sondern $\begin{eqnarray*} y=2\sin(\frac{z}{2}) \end{eqnarray*}$

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08.11.2009, 18:30

giles

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Du hast natürlich Recht, aber könntest den Ansatz mit deiner Kritik auch gerade zuende denken:

$\begin{eqnarray*} \int ^\pi _{z}(2\sin(\frac{x}{2})-2\sin(\frac{z}{2}))\dx=2 \end{eqnarray*}$

Dann ergibt sich als eine der Lösungen $\begin{eqnarray*} z\approx 0,74 \end{eqnarray*}$

08.11.2009, 18:35

Bakatan

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giles könntest du für den analytischen Rechenweg kurz einen Tipp geben? Wie gymnasium12 bereits gerechnet hat ergibt das am Ende einen Ausdruck mit z im Sinus und als Vorfaktor. Wie rechnet man da weiter?
Das ist übrigens die Frage vom ersten Post. Numerisch gibt das laut Wolfram das korrekte Ergebnis, aber ich bezweifle stark, dass in einer Abituraufgabe so etwas zu lösen ist?

08.11.2009, 18:37

gymnasium12

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ok das Problem wurde gelöst

ich idiot hab vergessen, dass ich im wahlteil mein gtr verwenden konnte

ich wusste nicht wie ich die gleichung nach z auflösen kann jetzt hab ichs eingetippt und es kam 0,736 raus jahooooooooooo Big Laugh

Big Laugh

08.11.2009, 18:43

Bakatan

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Ich finde die Lösung "ich hab meinen Taschenrechner es lösen lassen" relativ schade. Ich hatte geglaubt, es gäbe eine geschickte Methode, es ohne numerische Verfahren zu lösen. Gibt es diese wirklich nicht? Das fände ich höchst unzufriedenstellend Erstaunt2

Erstaunt2

08.11.2009, 18:50

giles

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Tut mir Leid dass ich so für Verwirrung gesorgt hab. Bin heut abend voll im Stress. traurig

traurig

08.11.2009, 18:55

Bakatan

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Kein Problem, ich hatte bloß die Hoffnung, du hättest eine analytische Methode gefunden. Es kann doch nicht sein, dass es keine gibt... ( Kann schon, ich will es aber nicht wahr haben traurig

traurig

)

08.11.2009, 22:09

gymnasium12

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Zitat:

Original von Bakatan
Kein Problem, ich hatte bloß die Hoffnung, du hättest eine analytische Methode gefunden. Es kann doch nicht sein, dass es keine gibt... ( Kann schon, ich will es aber nicht wahr haben traurig

traurig

)

also wir haben noch nie glernt so eine gleichung

$\begin{eqnarray*} 1=-\pi *sin(\frac{z }{2}) +2*cos(\frac{z }{2}) +z*sin(\frac{z }{2}) \end{eqnarray*}$

nach z aufzulösen.

der taschenrechner machts doch so, dass er zahlen zwischen einem intervall einsetzt bis er die richtige lösung gefunden hat odeR?

ich hab gerade mit den sin cos tan formeln versucht was zu machen aber kommt aau nur müllr aus^^

09.11.2009, 20:41

Bakatan

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Ich schätze mal es gibt keine analytische Lösung, aber für solch eine Aufgabe finde ich das sehr schade. Moderne Taschenrechner ( das sind ja praktisch schon Computer, da läuft ja oft schon Linux drauf... ) lösen sowas einfach mit numerischen Verfahren. Einsetzen bis er die Lösung gefunden hat eher weniger, denk mal an die Überabzählbarkeit von den reellen Zahlen. Es sei den er bedenkt die stückweisen Monotonieeigenschaften oder sowas und macht ne Intervallschachtelung...

Vielleicht findet ja noch jemand einen Weg die Aufgabe auf andere Weise analytisch zu berechnen. Die Hoffnung stirbt zuletzt Big Laugh

Big Laugh

09.11.2009, 21:03

gymnasium12

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aber des komische ist ich konnte die gleicung nicht durch das equation menu lösen da kam n falscher wert raus. aber wenn ich des im graph menu mach komtt die richtige lösung raus. braucht zwar ne stunde aber naja^^

10.11.2009, 18:19

Mistmatz

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Wie wär's damit:
Der Taschenrechner sucht eine Lösung (Nullstelle) der Gleichung

$\begin{eqnarray*} (z-\pi)\sin{\frac{z}{2}}+2\cos{\frac{z}{2}}-1=0 \end{eqnarray*}$

mithilfe des Newton-Verfahrens und einem zufällig gewählten Startwert.

10.11.2009, 19:56

gymnasium12

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das problem wurde schon mit dem taschenrechner gelöst aber Bakatan hofft auf eine Lösung ohne Taschenrechner

10.11.2009, 20:02

AD

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Zitat:

Original von Bakatan
Vielleicht findet ja noch jemand einen Weg die Aufgabe auf andere Weise analytisch zu berechnen.

Das ist alles eine Frage des akzeptierten Funktionenvokabulars. Bei ähnlichen Gleichungen mit der Exponential- oder Logarithmenfunktion, wie etwa

$\begin{eqnarray*} x\cdot\ln(x) = 3 \end{eqnarray*}$

hilft die flugs definierte LambertW-Funktion. Vielleicht hilft sie ja auch hier, angesichts der Verwandtschaft von Exponential- und Winkelfunktionen im Komplexen? Ich hab's allerdings nicht probiert. Augenzwinkern

Augenzwinkern

EDIT: Oje, Tippfehler en masse...

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