Supremum/Infimum

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9mb0 Auf diesen Beitrag antworten »
Supremum/Infimum
Hallo, habe ein Problem mit folgender Aufgabe:


Es sei M eine beschränkte, nicht-leere Teilmenge von Z. Beweisen Sie: Es gibt Elemente , so dass gilt:

für alle ,

d. h. M enthält ein kleinstes Element a und ein größtes Element b.

Ich soll wohl zeigen, dass a ein Infimum ist und b ein Supremum, glaube ich.

Oder stimmt das nicht? Wenn ja wie soll ich das machen, weiß leider gar nichts mit der Aufgabenstellung anzufangen..


Ich hoffe ihr helft mir.

Danke schon mal für alle Antworten.

mfg

9mb0
iammrvip Auf diesen Beitrag antworten »

Hai.

Es sieht mir nach der Zwischenpunkteigenschaft aus. Definiere und . Dann zeige, dass ein Intervall mit den Endpunkten und ist.
 
 
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von iammrvip
Hai.

Es sieht mir nach der Zwischenpunkteigenschaft aus. Definiere und . Dann zeige, dass ein Intervall mit den Endpunkten und ist.


M ist doch eine Teilmenge von Z. Also sicher kein Intervall.

Man kann hier so vorgehen.

Betrachte belibig. Wir können davon ausgehen, dass es ein gibt, mit . Denn sonst hätte x die Eigenschaft für alle m aus M. Nun ist (Warum?).
Daraus folgt aber, dass M nach oben unbeschränkt ist. (Warum?). Widerspruch!
9mb0 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist klar wenn ich davon ausgehe, dass ich festlege. Aber warum hätte dann x die Eigenschaft für alle m aus M? Ok das nächste ist wieder klar, also das sein muss wenn ich meine Bedingung vom Anfang voraussetze,wie schon gesagt. Und Warum folgt aus diesen Sachen, dass m nach oben unbeschränkt ist?

Ich hoffe du kannst mir weiterhelfen.

Mit freundlichen Gruß

9mb0
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn es kein y aus M gibt, dass größer als x ist, sind logischerweise alle Elemente aus m kleinergleich x.
9mb0 Auf diesen Beitrag antworten »

ok kapiert Hammer

und warum folgt daraus, dass , dass M nach oben unbeschränkt ist? Also mir ist klar dass wenn y>x ist, aber warum ist M dann nach oben unbeschränkt?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist , also gibt es nach der selben Argumentation wieder ein , mit .

Nun macht man mit z wieder dasselbe usw...So erhält man eine Folge von Zahlen aus M, die immer um mind. 1 größer sind als der Vorgänger.
9mb0 Auf diesen Beitrag antworten »

ah ok, das funktioniert aber nur unendlich oft bei einer nach oben unbeschränkten Menge.

Wenn ich jetzt aber b erreicht habe, dann gibt's kein c aus m, c>b so dasss gilt

richtig?

nach unten funktioniert's dann genauso.

Ich denke ich hab's kapiert.

Danke tmo!
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