Supremum/Infimum

07.11.2009, 21:34

9mb0

Supremum/Infimum

Hallo, habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Es sei M eine beschränkte, nicht-leere Teilmenge von Z. Beweisen Sie: Es gibt Elemente $\begin{eqnarray*} a, b \in M \end{eqnarray*}$ , so dass gilt:

$\begin{eqnarray*} a \leq m \leq b \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} m\in M \end{eqnarray*}$ ,

d. h. M enthält ein kleinstes Element a und ein größtes Element b.

Ich soll wohl zeigen, dass a ein Infimum ist und b ein Supremum, glaube ich.

Oder stimmt das nicht? Wenn ja wie soll ich das machen, weiß leider gar nichts mit der Aufgabenstellung anzufangen..

Ich hoffe ihr helft mir.

Danke schon mal für alle Antworten.

mfg

9mb0

07.11.2009, 22:53

iammrvip

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Hai.

Es sieht mir nach der Zwischenpunkteigenschaft aus. Definiere $\begin{eqnarray*} a_0 := \mathrm{inf}\, I \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_0 := \mathrm{sup}\, I \end{eqnarray*}$ . Dann zeige, dass $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ein Intervall mit den Endpunkten $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_0 \end{eqnarray*}$ ist.

08.11.2009, 12:39

tmo

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Zitat:

Original von iammrvip
Hai.

Es sieht mir nach der Zwischenpunkteigenschaft aus. Definiere $\begin{eqnarray*} a_0 := \mathrm{inf}\, I \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_0 := \mathrm{sup}\, I \end{eqnarray*}$ . Dann zeige, dass $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ ein Intervall mit den Endpunkten $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_0 \end{eqnarray*}$ ist.

M ist doch eine Teilmenge von Z. Also sicher kein Intervall.

Man kann hier so vorgehen.

Betrachte $\begin{eqnarray*} x \in M \end{eqnarray*}$ belibig. Wir können davon ausgehen, dass es ein $\begin{eqnarray*} y \in M \end{eqnarray*}$ gibt, mit $\begin{eqnarray*} y>x \end{eqnarray*}$ . Denn sonst hätte x die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} x \geq m \end{eqnarray*}$ für alle m aus M. Nun ist $\begin{eqnarray*} y-x\geq 1 \end{eqnarray*}$ (Warum?).
Daraus folgt aber, dass M nach oben unbeschränkt ist. (Warum?). Widerspruch!

08.11.2009, 18:45

9mb0

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Also $\begin{eqnarray*} y-x\geq 1 \end{eqnarray*}$ ist klar wenn ich davon ausgehe, dass ich $\begin{eqnarray*} y > x \end{eqnarray*}$ festlege. Aber warum hätte dann x die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} x \geq m \end{eqnarray*}$ für alle m aus M? Ok das nächste ist wieder klar, also das $\begin{eqnarray*} y-x \geq 1 \end{eqnarray*}$ sein muss wenn ich meine Bedingung vom Anfang voraussetze,wie schon gesagt. Und Warum folgt aus diesen Sachen, dass m nach oben unbeschränkt ist?

Ich hoffe du kannst mir weiterhelfen.

Mit freundlichen Gruß

9mb0

08.11.2009, 18:50

tmo

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Wenn es kein y aus M gibt, dass größer als x ist, sind logischerweise alle Elemente aus m kleinergleich x.

08.11.2009, 19:00

9mb0

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ok kapiert Hammer

und warum folgt daraus, dass $\begin{eqnarray*} y-x \geq 1 \end{eqnarray*}$ , dass M nach oben unbeschränkt ist? Also mir ist klar dass $\begin{eqnarray*} y-x \geq 1 \end{eqnarray*}$ wenn y>x ist, aber warum ist M dann nach oben unbeschränkt?

08.11.2009, 19:29

tmo

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Es ist $\begin{eqnarray*} y \in M \end{eqnarray*}$ , also gibt es nach der selben Argumentation wieder ein $\begin{eqnarray*} z \in M \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} z-y \geq 1 \end{eqnarray*}$ .

Nun macht man mit z wieder dasselbe usw...So erhält man eine Folge von Zahlen aus M, die immer um mind. 1 größer sind als der Vorgänger.

08.11.2009, 19:56

9mb0

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ah ok, das funktioniert aber nur unendlich oft bei einer nach oben unbeschränkten Menge.

Wenn ich jetzt aber b erreicht habe, dann gibt's kein c aus m, c>b so dasss gilt $\begin{eqnarray*} c-b \geq 1 \end{eqnarray*}$

richtig?

nach unten funktioniert's dann genauso.

Ich denke ich hab's kapiert.

Danke tmo!

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