Bestimmen einer Abbildungsmatrix

08.11.2009, 09:45	PandaXX	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen einer Abbildungsmatrix Hallo! Brauche dringend Hilfe, da ich morgen eine Klausur schreibe. Wie bestimme ich eine Abbildungsmatrix, wenn die Abbildung des Ursprungs nicht gegeben ist? Könnt ihr mir das bitte an folgendem Beispiel ganz genau erklären?! A(2\|0), A'(1\|2), B(0\|2), B'(3\|4), C(4\|3), C'(4\|0) würde mich riiiiiiiiesig über eine baldige Antwort freuen!!!
08.11.2009, 11:22	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Du schreibst die relativen Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{u} = \overrightarrow{AB} \, , \ \ \vec{v} = \overrightarrow{AC} \, ; \ \ \ \ \vec{u} \, ' = \overrightarrow{A'B'} \, , \ \ \vec{v} \, ' = \overrightarrow{A'C'} \end{eqnarray}$ als Spalten nebeneinander und bildest so zwei Matrizen. Dann ist $\begin{eqnarray} T = \begin{pmatrix} \vec{u} \, ' & \vec{v} \, ' \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} \vec{u} & \vec{v} \end{pmatrix}^{-1} \end{eqnarray}$ die gesuchte Abbildungsmatrix für die affine Abbildung $\begin{eqnarray} \vec{y} = T \vec{x} + \vec{c} \end{eqnarray}$ Dann mußt du noch den Verschiebungsvektor $\begin{eqnarray} \vec{c} \end{eqnarray}$ berechnen. Man kann sich das hier auch direkt geometrisch überlegen. Wenn man sich eine Zeichnung macht und die Seitenlängen der Dreiecke $\begin{eqnarray} ABC \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} A'B'C' \end{eqnarray}$ berechnet, erkennt man Übereinstimmung. Die Abbildung ist also eine Kongruenzabbildung. Da sie die Orientierung erhält, handelt es sich um eine Drehung. Indem man die Mittelsenkrechten zweier Strecken $\begin{eqnarray} XX' \end{eqnarray}$ , zum Beispiel $\begin{eqnarray} AA' \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} BB' \end{eqnarray}$ , miteinander schneidet, findet man das Drehzentrum $\begin{eqnarray} Z \end{eqnarray}$ . Ist $\begin{eqnarray} \vec{z} \end{eqnarray}$ sein Ortsvektor, so gilt $\begin{eqnarray} \vec{y} = T \left( \vec{x} - \vec{z} \right) + \vec{z} \end{eqnarray}$ Ein Vergleich mit oben zeigt: $\begin{eqnarray} \vec{z} - T \vec{z} = \vec{c} \end{eqnarray}$
08.11.2009, 11:45	PandaXX	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank schonmal Aber wie sieht das konkret mit Zahlen aus? Wie lautet die Matrix am Ende?
08.11.2009, 11:59	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} T = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \ \ \text{mit den korrekt bestimmten} \ a,b,c,d \end{eqnarray}$
08.11.2009, 12:17	PandaXX	Auf diesen Beitrag antworten »
ja ich mein, wie das gerchnet wird. also kannst du mir das nicht vorrechnen, indem du die zahlen einsetzt?!
08.11.2009, 14:32	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein.
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