Beweis, das Q x Q ein Körper |
| 08.11.2009, 11:56 | estrella28 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Beweis, das Q x Q ein Körper Folgende Aufgabe: Es seien Q die rationalen Zahlen. Auf der Menge K = Q x Q definieren wir die Verknüpfungen (a,b) + (a´+ b´) = (a + a´, b + b´) (a,b) * (a´, b´) = (aa´ + 2bb´, ab´+ ba´) Zeigen Sie, dass (K, +, *) ein Körper ist. Ich habe bisher zur Addition: Neutrale Element ist (0,0) Inverse Element ist (-a,-b) Aber wie zeige ich die Assoziativität und die Kommutativität. Zur Multiplikation: Da weiß ich überhaupt nicht wie ich was zeigen soll. Ich weiß nur, dass ich beweisen soll, dass es hier ein neutrales Element, inverses Element gibt. Die Nullteilerfreiheit erfüllt sein soll, sowie Assoziativität und Kommutativität. Aber wie ich das mache, das ist mein Problem. LG estrella28 |
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| 08.11.2009, 14:26 | estrella28 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Beweis, das Q x Q ein Körper Vielleicht ist diese Schreibweise für die Verknüpfung besser: |
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| 08.11.2009, 14:43 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Kommutativität und Assoziativität ist reine Fleißarbeit. Beispiel Kommutativität der Multplikation: zu zeigen (a,b)(a',b')=(a',b')(a,b). Berechne linke Seite und rechte Seite, wenn das gleiche Ergebnis rauskommt, sind sie gleich und das Rechengesetz bewiesen. Ist nur ein bißchen mühsam für Assoziativität. 
Neutrales Element der Multipikation mußt du "raten", also "probieren". Irgendwas mit 1 wird's schon sein, oder ? Körper sind immer nullteilerfrei, es genügt also, alle Axiome zu beweisen. |
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| 08.11.2009, 14:49 | estrella28 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ist die Assoziativität so gezeigt: [(a,b)+(a',b')]+(a'',b'')=(a,b)+[(a',b')+(a'',b'')] (a+a',b+b')+(a'',b'')=(a,b)+(a'+a'',b'+b'') ((a+a')+a'',(b+b')+b'')=(a+(a'+a''),b+(b'+b'')) Da (Q,+,*) ein Körper ist, gilt in (Q,+,*) jeweils die additive Assoziativität, und somit folgt: (a+a'+a'',b+b'+b'')=(a+a'+a'',b+b'+b'') |
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| 08.11.2009, 14:57 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Schwer lesbar, und die Gleichungen hängen nicht richtig zusammen, sinngemäß richtig. Besser: links oben = links mitte = links unten = rechts unten (weil in Q gültig) = rechts mitte = rechts oben. |
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| 08.11.2009, 15:21 | estrella28 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi, erstmal Danke für die Hilfe. Ich komme aber einfach nich auf das multiplikative neutrale Element.... bzw. auch nicht auf das inverse |
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| 08.11.2009, 18:01 | estrella28 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo Ich habe echt Probleme das neutrale Element und dieses multiplikative Inverse zu berechnen!!! Bin grad am verzweifeln!!! |
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| 08.11.2009, 18:36 | AD | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das neutrale Element der Multiplikation ist hier (1,0). P.S.: Vielleicht hilft dir ein Auge auf die in gültige Identität für die weiteren Betrachtungen. |
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| 09.11.2009, 20:51 | estrella28 | Auf diesen Beitrag antworten » |
danke, das mit dem inversen Element habe ich jetzt hinbekommen. Könnnte mir jemand vielleicht zeigen, wie ich bei der Multiplikation die Assoziativität und Kommutativität zeige, das kriege ich alleine nicht hin und ein Beispiel finde ich auch nicht, zudem ist die Verknüpfung hier so komisch. Wäre echt lieb, wenn ihr mir helfen könntet....bin echt am verzweifeln... |
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| 10.11.2009, 18:48 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ist nicht komisch, sondern sehr sinnvoll : Arthur Dent hat den entscheidenden Hinweis gegeben auf . Kommutativität und Assoziativität der Multiplikation zeigst du IM PRINZIP GENAU SO wie Kommutativität und Assoziativität der Addition (es lässt sich alles auf die Regeln in rationalen Zahlen zurückführen). |
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| 10.11.2009, 18:54 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Kommutativität der Multiplikation ist sogar offensichtlich, denn es ist zu zeigen (a,b)(a',b')=(a',b')(a,b). Das sieht man,weil man in (aa'+2bb',ab'+ba') die nichtgestrichenen jeweils mit den gestrichenen Variablen (in rationalen Zahlen) vertauschen kann. |
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