Bildet folgende Menge ebenfalls eine Basis?

08.11.2009, 12:40

pizzaschachtel

Bildet folgende Menge ebenfalls eine Basis?

Hallo,
ich habe folgende Aufgabe und weiß nicht, wie ich weiter machen soll.

Aufgabe:
Es sei $\begin{eqnarray*} \left\{ u,v,w\right\} \end{eqnarray*}$ eine Basis eines Vektorraumes. Entscheiden Sie, ob folgende Mengen ebenfalls eine Basis bilden.

a) $\begin{eqnarray*} \left\{ u+v,u+w,v+w\right\} \end{eqnarray*}$
Sie würden ja ebenfalls eine Basis bilden, wenn sie linear unabhängig sind. Aber wie weiße ich das in diesem Beispiel nach? Könntet ihr mir einen Tipp geben?

Danke

08.11.2009, 13:34

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Etwas nachweißen funktioniert mit einem Pinsel und weißer Farbe ganz gut Augenzwinkern

Wenn du etwas nachweisen willst, solltest du erstmal überlegen, was du nachweisen willst. Dass sie linear abhängig sind? Oder, dass die linear unabhängig sind?

08.11.2009, 13:37

pizzaschachtel

Auf diesen Beitrag antworten »

Ach nee, die müssen abhängig sein, oder?
Heißt das, dass ich nachweisen muss, dass $\begin{eqnarray*} \lambda \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u+v \\ u+w \\ v+w \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist?

08.11.2009, 13:40

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von pizzaschachtel
Ach nee, die müssen abhängig sein, oder?

Das wissen wir ja noch nicht. Du hast 3 Vektoren und weißt nicht ob sie abhängig oder unabhängig sind. Was machst du denn dann? Wie kannst du es herausfinden?

08.11.2009, 13:43

pizzaschachtel

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bilde die Determinante und gucke, ob sie 0 ist.
Aber ich habe doch nur 2 Vektoren? Einmal $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix} \text{und} \begin{pmatrix} u+v \\ u+w \\ v+w \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , oder?
Wo kommt da nun der 3. Vektor her?

08.11.2009, 16:08

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast 3 Vektoren. Nämlich $\begin{eqnarray*} u+v,u+w,v+w \end{eqnarray*}$ .

Wie prüft man denn auf lineare Unabhängigkeit? Das solltest du doch wissen.

08.11.2009, 16:15

pizzaschachtel

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Determinante bilden.
Wie doof, dass ich nicht darauf kam, dass das eigentlich 3 Vektoren sind -_-

08.11.2009, 16:39

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von pizzaschachtel
Ja, die Determinante bilden.

Oder einfach (die Vektoren seien a,b,c) die Gleichung $\begin{eqnarray*} \lambda_1a+\lambda_2b+\lambda_3c=0 \end{eqnarray*}$ betrachten. D.h. schauen ob es triviale Lösungen gibt oder nicht.

Und genau das machst du hier. Dann kommst du schnell zum Ziel.

08.11.2009, 18:43

pizzaschachtel

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke,
es hat mir super geholfen! Gott

Neue Frage »

Antworten »

Bildet folgende Menge ebenfalls eine Basis?

Verwandte Themen