Quasiordnung und Induzierte Aquivalenzrelation |
| 08.11.2009, 12:14 | moonyPearl | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Quasiordnung und Induzierte Aquivalenzrelation habe hier eine Hausübung vor mir liegen, die um sie zu lösen, mir doch noch was an Verständnis fehlt.Im Forum habe ich leider nicht passendes gefunden. Also: Aufgabe lautet wie folgt..... Sei R eine Relation auf einer Menge M, die reflexiv und trasitiv ist. Wir definieren eine neue Relation ~ auf M durch m~n <=> (mRn) und (mRn) für n,m M. Zeigen Sie,dass ~ eine Äquivalenzrelation ist. Vorüberlegung: Ich hab erst ma gegoogelt, weil ich keinen Ansatz hatte. Wiki sagt eine reflexive u. transitive Relation, nennt man Quasiordnung. Durch die Festlegung m~n <=> (mRn) und (mRn) erzeugt die Quasiordnung eine Äquivalenzrelation auf M. Mein Problem: Ich kann mir so eine Quasiordnung nicht vorstellen. Angenommen ich habe M= {1,2,3} und MM= {(1,1)(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)}. Welche Elmente davon repräsentieren eine Quasiordnung? In welcher Weise induziert sie eine Äquivalenzrelation? In der Vorlesung scheint alles logisch, bei solchen Aufgaben jedoch fällt mir auf, dass mir das wohl nicht ganz klar ist. Irgendwo hängts bei mir und ich weiß nicht so, wäre schon mal im Vorraus über jeden Ansatz zur Lösung und Idee dankbar. Grüßli |
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| 08.11.2009, 13:24 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dein Beispiel hilft nicht weiter. Besser wäre, du zeigst, daß "~" eine Äquivalenzrelation, also reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Für den Beweis kannst du die Eigenschaften von "R", also reflexiv und transitiv benutzen. |
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| 08.11.2009, 15:50 | moonyPearl | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also dann fass ich mal einfach zusammen, was ich alles weiß. Sei Menge M nicht leer. R ist Relation auf M reflexiv, d.h. jedes Element a aus M steht in Relation zu sich selber. transitiv wenn a,b,c M aRb und bRc <=> aRc Diese neue Relation m~n <=>mRn und nRm sagt sie dann auch aus, dass das Tupel (m,n) in R enthalten ist? Daraus folgere ich mRm , da das ja für alle Elemente aus M gilt. Genauso transitiv, da R so definiert ist, das ich zu mRn über ein anderes Element a (z.B.) kommen würde. (mRa und aRn) Symmetrisch ist es dann jetzt weil (m ungleich n) in der neuen Relation sowohl (m,n) als auch (n,m) enthalten sind? Ähm ich komm bissl durcheinander. 
Was heißt jetzt Quasiordnung? Relation ist weder symmetrisch noch antisymmetrisch, oder sowohl symmetrisch als auch antisymmetrisch? |
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| 09.11.2009, 18:24 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Beweis für die Symmetrie geht so: n~m => nRm und mRn => mRn und nRm (logisch: und) => m~n Die anderen Sachen gehen genau so einfach: hinschreiben, schlußfolgern, fertig. |
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