Grenzwert berechnen

08.11.2009, 13:35

Phate666

Grenzwert berechnen

Hi,
Ich habe Probleme den Grenzwert der folgenden Funktion zu berechnen:
Sei $\begin{eqnarray*} $k\in \mathbb{N}_+$ \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n^k}{k^n} \end{eqnarray*}$
Mir ist klar, dass der Grenzwert 0 ist,da $\begin{eqnarray*} k^n \end{eqnarray*}$ stärker wächst als $\begin{eqnarray*} n^k \end{eqnarray*}$ , allerdings habe ich keine Idee, wie man das beweist. Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.

08.11.2009, 13:36

tmo

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Was ist mit $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ ? Augenzwinkern

08.11.2009, 13:41

Phate666

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Hatte ich vergessen hinzuschreiben, da ist der Grenzwert natürlich $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$

Edit:
$\begin{eqnarray*} \frac{n^k}{k^n}=n^{k-n}\cdot (\frac{n}{k})^n \end{eqnarray*}$ , allerdings hilft mir das auch nicht weiter...

08.11.2009, 13:44

tmo

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Ok. Und deine Vermutung, dass er für $\begin{eqnarray*} k \geq 2 \end{eqnarray*}$ gleich 0 ist, ist richtig.

Bevor wir dafür einen elementaren Beweis angehen: Kennst du den Grenzwert von $\begin{eqnarray*} \sqrt[n]{n} \end{eqnarray*}$ und darfst ihn verwenden? Das würde das ganze enorm vereinfachen.

08.11.2009, 13:47

Phate666

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Kennen ja, (müsste 1 sein), haben wir aber in der Vorlesung nie bewiesen.

08.11.2009, 14:06

tmo

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Ok. Dann beweisen wir direkt die Behauptung.
Wir ziehen erstmal die k-te Wurzel, betrachten also $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n}{\sqrt[k]{k^n}} \end{eqnarray*}$ .

Wenn das gegen 0 konvergiert, konvergiert nach den Grenzwertsätzen auch $\begin{eqnarray*} a_n^k \end{eqnarray*}$ gegen 0.

Nun ist $\begin{eqnarray*} k > 1 \end{eqnarray*}$ , also auch $\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{k}>1 \end{eqnarray*}$ und auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{\sqrt[k]{k}}>1 \end{eqnarray*}$ .

Also setzen wir $\begin{eqnarray*} \sqrt{\sqrt[k]{k}}=1+h \end{eqnarray*}$ mit positivem h.

Dann ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{\sqrt[k]{k^n}}=(1+h)^n \end{eqnarray*}$ .

Nun denk mal an die Bernoullische Ungleichung.

08.11.2009, 15:02

Phate666

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Das bringt mich jetzt auch nicht weiter...

08.11.2009, 15:12

tmo

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Zitat:

Original von Phate666
Das bringt mich jetzt auch nicht weiter...

Das bringt mich auch nicht wirklich weiter...Du musst mir schon sagen, warum dich das nicht weiterbringt? Weißt du nicht was die bernoulische Ungleichung ist? Hast du irgendwas bis hierhin nicht verstanden?

08.11.2009, 15:20

Phate666

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Zitat:

Original von tmo
Dann ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{\sqrt[k]{k^n}}=(1+h)^n \end{eqnarray*}$ .

Nun denk mal an die Bernoullische Ungleichung.

Daraus folgt $\begin{eqnarray*} \sqrt{\sqrt[k]{k^n}} \geq 1+n\cdot h \end{eqnarray*}$ , das Problem ist, was ich jetzt damit machen soll

08.11.2009, 15:22

tmo

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Also ist auch $\begin{eqnarray*} \sqrt{\sqrt[k]{k^n}} > nh \end{eqnarray*}$ .

Nunmal quadrieren und dann bist du fast fertig.

08.11.2009, 15:34

Phate666

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$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{k^n}\geq n^2\cdot h^2 \end{eqnarray*}$
Einsetzen in die Ausgangsfolge liefert dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n^2\cdot h^2}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{h^2}=0 \text{ für } n\rightarrow \infty \end{eqnarray*}$

Zitat:

Wenn das gegen 0 konvergiert, konvergiert nach den Grenzwertsätzen auch $\begin{eqnarray*} a_n^k \end{eqnarray*}$ gegen 0.

Woraus genau folgt dass denn? Haben wir nämlich in der Vorlesung nicht bewiesen, darf also auch nicht einfach so benutzt werden.

08.11.2009, 16:03

tmo

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Zitat:

Original von Phate666
$\begin{eqnarray*} \sqrt[k]{k^n}\geq n^2\cdot h^2 \end{eqnarray*}$
Einsetzen in die Ausgangsfolge liefert dann:
$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n^2\cdot h^2}=\frac{1}{n}\cdot \frac{1}{h^2}=0 \text{ für } n\rightarrow \infty \end{eqnarray*}$

Du musst so fortsetzen:

Durch n teilen:

$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt[k]{k^n}}{n} > nh^2 \end{eqnarray*}$ .

Bildet man nun den Kehrerhält man $\begin{eqnarray*} \frac{n}{\sqrt[k]{k^n}} < \frac{1}{nh^2} \to 0 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Phate666

Zitat:

Wenn das gegen 0 konvergiert, konvergiert nach den Grenzwertsätzen auch $\begin{eqnarray*} a_n^k \end{eqnarray*}$ gegen 0.

Woraus genau folgt dass denn? Haben wir nämlich in der Vorlesung nicht bewiesen, darf also auch nicht einfach so benutzt werden.

Mal ein bisschen über die gegebenen Tipps nachdenken:
Das Produkt zweier Nullfolgen ist wieder eine Nullfolge. Das ist einfach nur der Grenzwertsatz für das Produkt zweier konvergenter Folgen.

Dann ist aber auch das Produkt von 3 Nullfolgen eine Nullfolge. Und induktiv folgt dann, dass auch das Produkt von k Nullfolgen ein Nullfolge ist.

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