Zusammenhang zwischen p-Normen

08.11.2009, 14:57

Max Simon

Zusammenhang zwischen p-Normen

Hallo.

Wir sollen folgende Beziehungen beweisen.

Für

$\begin{eqnarray*} x\in\mathbb R^n: ||x||_p:=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n~|x_i|^{p}}, ||x||_\infty :=max_{i}|x_i| \end{eqnarray*}$ glit:

$\begin{eqnarray*} ||x||_2 \leq||x||_1 \leq\sqrt{n}||x||_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||x||_\infty \leq||x||_1 \leq n||x||_\infty \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} ||x||_\infty \leq ||x||_2 \leq\sqrt{n}||x||\infty \end{eqnarray*}$ .

Von diesen insgesamt 6 zu zeigenden ungleichungen konnte ich bisher nur eine zeigen, nämlich die erste:

Da mir kein direkter Beweis einfiel, hab ich es über Induktion gemacht:

Also zu zeigen: $\begin{eqnarray*} ||x||_2 \leq||x||_1 \end{eqnarray*}$

IA: klar für $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$
IS:
$\begin{eqnarray*} ||x||_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^{n+1}~|x_i|^{2}}=\sqrt{\sum_{i=1}^n~|x_i|^{2} + |x_{n+1}|^{2}} = \sqrt{\sqrt{\sum_{i=1}^n~|x_i|^{2}}^{2} + |x_{n+1}|^{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \leq^{IV} \sqrt{(\sum_{i=1}^n~|x_i|)^{2} + |x_{n+1}|^{2}} \leq^{Dreieck} \sum_{i=1}^n~|x_i| + |x_{n+1}| = \sum_{i=1}^{n+1}~|x_i|=||x||_1 \end{eqnarray*}$
(Iv bedeutet Induktionsvoraussetzung und Dreieck heißt hier, dass in einem rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse stets kleiner ist als die Summe der Katheten.)

Soweit so gut.
Ich bin mir irgendwie sicher, dass das auch einfacher gehen wird. Außerdem komm ich auf die Art und Weise bei den anderen Beweisen nicht voran.

Kann mir deshalb jemand weiterhelfen und mir sagen, wie man grundsätzlich sowas beweisen kann?

Danke

08.11.2009, 20:23

Max Simon

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Ok, manch andere Abschätzungen sind ja doch noch ganz leicht.

So z.B.:

Zu zeigen: $\begin{eqnarray*} ||x||_\infty \leq ||x||_1 \leq n||x||_\infty \end{eqnarray*}$ :

Sei $\begin{eqnarray*} 1 \leq\j\leq n: |x_j| = max_i |x_i| \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} ||x||_\infty=|x_j|=max_i|x_i|\leq \sum_{i=1}^n |x_i| = ||x||_1 \leq \sum_{i=1}^n |x_j| = n|x_j| = n max_i|x_i| = n||x||_\infty \end{eqnarray*}$ .

Bei den anderen Abschätzungen hab ich aber doch noch Schwierigkeiten.

Z.B. Bekomme ich bei den Ungleichungen mit $\begin{eqnarray*} \sqrt{n} \end{eqnarray*}$ noch gar nichts hin.

Hat jemand nen Tipp?

09.11.2009, 23:53

Max Simon

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Nochmal ein letzter Versuch:

Ich komm bei dieser Ungleichung nicht klar, alle Ansätze scheitern:

$\begin{eqnarray*} ||x||_1 \leq \sqrt{n}||x||_2 \end{eqnarray*}$ .

Kann mir bitte jemand helfen. unglücklich

Die anderen Ungleichungen hab ich nun doch zeigen können, aber hier klappts einfach nicht.

10.11.2009, 00:41

giles

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RE: Zusammenhang zwischen p-Normen
Sorry totaler Fehlpost ich wollte eigentlich Vorschau drücken -.- bitte löschen...

10.11.2009, 12:22

Mario

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RE: Zusammenhang zwischen p-Normen
Hallo Max,

ich würde es mit Cauchy-Schwarz versuchen; stenographiert so in etwa:

$\begin{eqnarray*} \|x\|_1^2 = (\sum_i |x_i|\cdot 1)^2 \leq \|x\|_2^2 \sum_i 1^2 = n\|x\|_2^2 \end{eqnarray*}$

Lg Mario

PS: Habe nochmal editiert: die von mir verwendeten Einsen waren zu kompliziert geschrieben ;-)

10.11.2009, 20:44

bappi

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Zitat:

Original von Max Simon
Sei $\begin{eqnarray*} 1 \leq\j\leq n: |x_j| = max_i |x_i| \end{eqnarray*}$ .
Dann ist $\begin{eqnarray*} ||x||_\infty=|x_j|=max_i|x_i|\leq \sum_{i=1}^n |x_i| = ||x||_1 \leq \sum_{i=1}^n |x_j| = n|x_j| = n max_i|x_i| = n||x||_\infty \end{eqnarray*}$ .

Kennst du noch einmal genau notieren, was du hier meinst?

Meinst du

$\begin{eqnarray*} 1 \leq j\leq n: |x_j| = \underset{i}{\mathrm{max}} \, |x_i| \end{eqnarray*}$

?

10.11.2009, 20:47

Max Simon

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ja, genau das meine ich.

Danke für den Hinweis mit Cauchy-Schwarz.
Führt tatsächlich zum Erfolg!

25.04.2010, 19:14

Sam Al Knödl

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RE: Zusammenhang zwischen p-Normen
jah... ich hab das gleiche problem... könntest du ein bisschen ausführlicher machen? ich komm net drauf wie du da genau die Cauchy-Schwarz anwendest.

okay... hat sich erledigt =) habs gerafft

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