Vereinigung von Untergruppen

08.11.2009, 15:25

Nim90

Vereinigung von Untergruppen

Hallo liebe Community!

Ich bin jetzt Mathe-Ersti und sitze an meinem Übungszettel für LinA 1. Bei der Bearbeitung einer Aufgabe habe ich leider schon ein paar Schwierigkeiten. Also würde ich mich freuen, wenn ihr mir ein bisschen auf die Sprünge helfen könntet. Die Aufgabe lautet wie folgt:

Seien U1 und U2 Untergruppen der Gruppe (G, *). Man zeige:
Ist U1 keine Teilmenge von U2 und U2 keine Teilmenge von U1, so ist
U1 vereinigt U2 keine Untergruppe von (G, *).

Ich bin nun schon soweit:
Der einzig interessante Fall ist ja, dass U1 geschnitten U2 nichtleer ist und U1 keine Teilmenge von U2 und U2 keine Teilmenge von U1 ist.

Also existiert ein a Element U1 mit a nicht Element von U2 bzw ein
b Element U2 mit b nicht Element von U1.

Liegt a*b nun in U1 vereinigt U2? Ich vermute nein, aber warum nicht?

Ich bedanke mich schon einmal für eure Hilfe

Viele Grüße

Nim90

08.11.2009, 16:11

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Angenommen $\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 \end{eqnarray*}$ ist eine Untergruppe von G.

Nun betrachtest du zu den von dir eingeführten a und b mal $\begin{eqnarray*} a*b \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} a*b \end{eqnarray*}$ liegt wegen der Annahme, dass $\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 \end{eqnarray*}$ eine Gruppe ist, in $\begin{eqnarray*} U_1 \cup U_2 \end{eqnarray*}$ , also o.B.d.A ein $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ .

Wie kannst du fortfahren?

08.11.2009, 16:35

Nim90

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, danke für deine schnelle Antwort!

Also a*b darf ja nach Voraussetzung nicht in U1 liegen, weil sonst b Element von U1 wäre, richtig?

Warum darf ich aber o.B.d.A. annehmen, dass a*b Element von U1 ist? verwirrt