Stetigkeit auf allen Einschränkungen impliziert Stetigkeit

08.11.2009, 15:57

Max Simon

Stetigkeit auf allen Einschränkungen impliziert Stetigkeit

Hallo, ich hab noch ein Problem, welches augenscheinlich klar ist, was ich jedoch nicht beweisen kann.

Man hat 2 metrische Räume $\begin{eqnarray*} (X,d), (Y,e) \end{eqnarray*}$ und eine Funktion $\begin{eqnarray*} f: X \to Y \end{eqnarray*}$ .
Seien weiterhin $\begin{eqnarray*} X_1, ..., X_n \end{eqnarray*}$ abgeschlossene Teilmengen von X, sodass die Vereinigung all dieser Teilmengen ganz X bildet.
f eingeschränkt auf jeder dieser Teilmengen sei stetig.

Zu zeigen ist nun, dass dann f in ganz X stetig ist.

Im $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{1} \end{eqnarray*}$ ist das gut vorstellbar:

Man nehme also eine Teilmenge $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ und unterteile diese in beliebig viele (aber abzählbar viele) abgeschlossene Intervalle. Auf jedem dieser Intervallen sei f stetig.
Im offenen Kern dieser Intervalle ist f dann logischerweise auch in S stetig. Die Frage ist, was an den "Schnittstellen", also den Intervallgrenzen, dem Rand passiert.
Liegt eine Intervallgrenze im Inneren eines anderen Intervalls, so ist f in S auch dort stetig. Probleme macht es nur, wenn z.B. die rechte Intervallgrenze des einen Intervalls mit der linken Intervallgrenze des anderen zusammenfällt.
Doch auch hier muss dann f stetig sein. Wäre f nämlich nicht stetig an dieser Schnittstelle, dann hätte f aufgrund der Abgeschlossenheit der Intervalle zwei verschiedene Funktionswerte an einer Stelle. Und das wäre dann ja keine Funktion mehr.

Doch nun kann man ja diese Schnittstellen in mehreren Dimensionen ja nicht mehr so einfach beschreiben.
Und damit komme ich nicht klar.

Kann mir jemand helfen?

(O.B.D.A. kann man annehmen, dass X nur in 2 abgeschlossene Teilmengen X1 und X2 unterteilt wird, deren Vereinigung wieder ganz X ist; und f ist auf X1 und auf X2 stetig.)

08.11.2009, 16:19

tmo

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Wie du richtig gesagt hast, kann man $\begin{eqnarray*} n=2 \end{eqnarray*}$ annehmen. Der Rest folgt mit Induktion.

Wie du auch richtig gesagt hast, ist die Sache serh einfach, wenn $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ im offenen Kern von $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ liegt.

Also sei $\begin{eqnarray*} x \in X \end{eqnarray*}$ ein Randpunkt von $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und von $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ . Weil $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ abgeschlossen sind, enthalten sie ihren Rand, also gilt $\begin{eqnarray*} x \in X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in X_2 \end{eqnarray*}$ .

Nun gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon > 0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \delta_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \delta_2 \end{eqnarray*}$ , sodass die Epsilon-Delta-Definition für $\begin{eqnarray*} X_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.

Nun sei $\begin{eqnarray*} \delta = \min(\delta_1,\delta_2) \end{eqnarray*}$ .

Folgere aus $\begin{eqnarray*} d(x,y) < \delta \end{eqnarray*}$ nun: $\begin{eqnarray*} e(f(x),f(y))<\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

08.11.2009, 17:26

Max Simon

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Na diese Folgerung besteht doch nur aus der Fallunterscheidung:

Fall 1: $\begin{eqnarray*} y \in X1 \Rightarrow e(f(x),f(y)) < \epsilon \end{eqnarray*}$ , weil f in X1 stetig,
Fall 2: $\begin{eqnarray*} y \in X2 \Rightarrow e(f(x),f(y)) < \epsilon \end{eqnarray*}$ , weil f in X2 stetig.

Da wir metrische Räume betrachten, müsste man noch den Fall untersuchen, dass x auf dem Rand von X1, aber nicht auf dem Rand von X2 liegt.
Doch auch dann ist die Stetigkeit klar, weil es ja dann nichts mehr außerhalb von X gibt (war das verständlich?)

Somit ist man doch eigentlich schon fertig, oder?

Und wie meintest du das mit Induktion? Den Induktionsbeweis muss man doch hier nicht führen. Man wendet dieses Verfahren nur (n-2)-mal an, in dem man je 2 Mengen zu einer großen Megne "verschmilzt", d.h. die Stetigkeit dort nachweist und dann diese große Menge mit der nächsten "verschmlizt" usw.

08.11.2009, 17:46

tmo

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Zitat:

Original von Max Simon
Na diese Folgerung besteht doch nur aus der Fallunterscheidung:

Fall 1: $\begin{eqnarray*} y \in X1 \Rightarrow e(f(x),f(y)) < \epsilon \end{eqnarray*}$ , weil f in X1 stetig,
Fall 2: $\begin{eqnarray*} y \in X2 \Rightarrow e(f(x),f(y)) < \epsilon \end{eqnarray*}$ , weil f in X2 stetig.

Richtig.

Zitat:

Original von Max Simon
Da wir metrische Räume betrachten, müsste man noch den Fall untersuchen, dass x auf dem Rand von X1, aber nicht auf dem Rand von X2 liegt.

Dann ist x im offenen Kern von $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Denn in jeder Umgebung von x liegt ein Element aus $\begin{eqnarray*} X \setminus X_1 \subseteq X_2 \end{eqnarray*}$ . Also gibt es eine Folge mit Elementen aus $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ die gegen x konvergiert. Wegen der Abgeschlossenheit liegt der Grenzwert x also in $\begin{eqnarray*} X_2 \end{eqnarray*}$ . Da x nicht auf dem Rand liegt, liegt x im offenen Kern.

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