komplexe Einheitswurzeln und endliche Körper

08.11.2009, 17:02	Philodoof	Auf diesen Beitrag antworten »
komplexe Einheitswurzeln und endliche Körper Kann jemand meine Lösungen zu diesen Aufgaben überprüfen? Aufgabe 1: Sei L die Menge aller komplexen Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray} z^{n} = 1 \end{eqnarray}$ für ein n Element N mit n > 1. Gelten die folgenden Aussagen? a) Es gibt eine Lösung Epsilon der Gleichung, so dass L = {1, Epsilon, Epsiolon²...} b) L enthält unendlich viele Elemente c) Die Konjugationsabbildung L -> L; z -> z quer ist eine Bijektion auf L d) Ist z Element von L, dann gilt z = $\begin{eqnarray} \cos(\frac{2\pi k}{n} ) + i\cdot \sin(\frac{2\pi k}{n} ) \end{eqnarray}$ für ein k Element von {0,1,2...} e) \|z\| = 1 Ich habe angekreuzt: a,c und e Aufgabe 2: Sei L die Menge aller komplexen Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray} z^{n} = 1 \end{eqnarray}$ für ein n Element N mit n > 1. Sei Epsilon Element von L, so dass L = {1, Epsilon, Epsiolon²...}. Dann gilt: a) $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n-1}~Epsilon^k = 0 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n-1}~Epsilon^k = 1 \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n-1}~Epsilon^k = i \end{eqnarray}$ d) Solch ein Epsilon existiert nicht. e) Das Ergebnis von $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n-1}~Epsilon^k \end{eqnarray}$ hängt von n ab. f) Das Ergebnis von $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n-1}~Epsilon^k \end{eqnarray}$ hängt von Epsilon ab. Ich habe angekreuzt: a Aufgabe 3: Sei $\begin{eqnarray} \left[a\right]_5 \end{eqnarray}$ die Äquivalenzklasse von a in $\begin{eqnarray} \left[F\right]_5 \end{eqnarray}$ . Lösen Sie die folgende Gleichung in \left[F\right]_5 : $\begin{eqnarray} \left[4\right]_5 \cdot x = \left[3\right]_5 \end{eqnarray}$ Meine Lösung für x ist [2] Aufgabe 4: Sei $\begin{eqnarray} \left[a\right]_5 \end{eqnarray}$ die Äquivalenzklasse von a in $\begin{eqnarray} \left[F\right]_5 \end{eqnarray}$ . Lösen Sie die folgende Gleichung in \left[F\right]_5 : $\begin{eqnarray} x^{2} + \left[1\right]_5 = \left[0\right]_5 \end{eqnarray}$ Meine Lösungungen sind [2] und [3] Aufgabe 5: Sei $\begin{eqnarray} \left[a\right]_5 \end{eqnarray}$ die Äquivalenzklasse von a in $\begin{eqnarray} \left[F\right]_5 \end{eqnarray}$ . Lösen Sie die folgende Gleichung in \left[F\right]_5 : $\begin{eqnarray} x^{2} + x + \left[1\right]_5 = \left[0\right]_5 \end{eqnarray}$ Meine Lösung ist, dass die Gleichung keine Lösung hat
08.11.2009, 19:52	Philodoof	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann mir denn schon wieder niemand helfen?
08.11.2009, 20:05	heinzelotto	Auf diesen Beitrag antworten »
zu 1 d): $\begin{eqnarray} k\in\mathrm{Z}:\ e^{i(2k)\pi}= 1\Rightarrow \sqrt[n]{1} = e^{i\frac{2\pik}{n}}=\cos(...)+i\sin(...) \end{eqnarray*}$ Das ist also auch noch richtig.
08.11.2009, 20:30	Philodoof	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, ja stimmt, die Eulersche Identität. Daran hatte ich gar nicht gedacht. Vielen Dank. Habe ich es ansonsten richtig gelöst?

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