Definitionslücken & Pole

08.11.2009, 17:23

Berti-82

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Definitionslücken & Pole

Hi, ich bräuchte mal wieder eure Hilfe.

Ich recherchier für meinen Vortrag, den ich vor meiner Klasse halten soll, über gebrochenrationale Funktionen. Polstellen sind ja Stellen in denen das Nennerpolynom h(x) verschwindet, das Zählerpolynom g(x) jedoch einen von Null verschiedenen Wert annimmt. Wenn jetzt aber Nennerpolynom und Zählerpolynom gemeinsame Nullstellen haben, nennt man das hebbare Definitionslücke?
Ist das richtig?

mfg

08.11.2009, 17:38

Q-fLaDeN

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RE: Definitionslücken & Pole
Wenn du mit "das Nennerpolynom verschwindet" meinst, dass es 0 wird, dann ist das richtig. Aber verschwinden tut es deswegen nicht, auch 0 ist ein Polynom.

08.11.2009, 17:40

pantarei

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Verschwinden kann das Polynom jedenfalls nicht. Ich nehme mal an du meinst es wird 0.

Wenn sowohl Zähler als auch Nenner 0 werden, könnte es eine stetig hebbare Def.lücke sein, muss aber nicht.

Kürz erstmal durch x- x0 ( die kleine Null unten meine ich) und schau dann noch mal.
Dann siehst du ob die lücke stetig hebbar ist.

08.11.2009, 18:02

Berti-82

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Also zum Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f\left(x\right) = \frac{x^{2}-1 }{x+1} \end{eqnarray*}$

Jetzt hätte ich an der Stelle x=-1 eine Definitionslücke, Nennerpolynom und Zählerpolynonwerden werden zu Null.
Ist das jetzt eine hebbare Definitionslücke?

08.11.2009, 18:09

Berti-82

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Ich könnte noch kürzen...

$\begin{eqnarray*} f\left(x\right)=\frac{\left(x+1\right) \left(x-1\right) }{x+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f\left(x\right)=x-1 \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich doch die Funktion verändert, oder?

08.11.2009, 18:26

Q-fLaDeN

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Zitat:

Original von Berti-82
Jetzt habe ich doch die Funktion verändert, oder?

Nein, dadurch wird die Funktion nicht verändert.

Wichtig dabei ist nur folgendes:
Du musst von der Ausgangsfunktion den Definitionsbereich bestimmen. Hier also alle reellen Zahlen außer $\begin{eqnarray*} x=-1 \end{eqnarray*}$
Wenn du nun kürzt, und den Definitionsbereich beibehältst, ist das genau die gleiche Funktion wie vorher.

Also $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^2-1}{x+1} = x-1 \end{eqnarray*}$ für den besagten Definitionsbereich.

Du solltest darauf achten, und das hat pantarei auch schon gesagt, dass es nicht zwingend notwendig ist, dass eine hebbare Definitionslücke vorliegen muss, wenn sowohl Zähler als auch Nenner 0 werden. Hier ein Beispiel für eine solche Funktion:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x^2+4x+3}{x^2+2x+1} \end{eqnarray*}$

diese Funktion wird bei x = -1 sowohl im Zähler als auch im Nenner zu 0. Jedoch liegt hier keine hebbrare Definitionslücke vor, sondern eine Polstelle. Das liegt daran, dass der Linearfaktor (x+1) im Nenner doppelt vorkommt, im Zähler nur einfach. Also kann man ihn einmal kürzen, dann bleibt er noch einmal im Nenner übrig.

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08.11.2009, 19:04

Berti-82

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Also hat zum Beispiel die folgende Funktion auch keine hebbare Definitionslücke:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{2x^{3}+2x^{2}-32x+40 }{x^{3}+2x^{2}-13x+10 } \end{eqnarray*}$

Im Nennerpolynom hätte ich somit 3 Nullstellen (1;2;-5), im Zählerpolynom 2 Nullstellen (2;-5) Da nur 2 und -5 gemeinsame Nullstellen sind, aber 1 nur Nennerpolymon vorkommt, handelt es sich um keine hebbare Definitionslücke, richtig?

08.11.2009, 19:11

Q-fLaDeN

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$\begin{eqnarray*} y=\frac{2x^{3}+2x^{2}-32x+40 }{x^{3}+2x^{2}-13x+10 } = \frac{2(x-2)^2(x+5)}{(x-1)(x-2)(x+5)} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt: x = 1 ist Polstelle. x = 2 und x = -5 sind hebbare Definitionslücken.

Falls du das in deinem Beitrag gemeint hast, dann ist das richtig. (Habs nicht ganz verstanden was genau du meinst)

08.11.2009, 19:20

Berti-82

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Genau das habe ich gemeint.

Danke, nun hab ich´s verstanden. Wink

Wink

08.11.2009, 21:15

Berti-82

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@ Q-fLaDen:

Könntest du mir deine Linearfaktorenzerlegeung der letztigen Aufgabe erklären?
Die Zerlegung des Nenners kann ich nachvollziehen, des Zählers jedoch nicht.
Beim Ausmultiplizieren komme ich ja auf das Ausgangspolynom. Wie erklärt sich das

$\begin{eqnarray*} 2\left(x-2\right)² \end{eqnarray*}$

Der Koeffizient der höchsten Potenz bleibt ja erhalten, deshalb die 2 vor der Klammer, richtig?

08.11.2009, 21:23

Q-fLaDeN

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Du sagtest doch selbst, welche Nullstellen der Zähler hat, dann kann man das ganz schnell hinschreiben Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und mit dem Koeffizienten hast du recht, genau.

08.11.2009, 21:36

Berti-82

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Ok,

$\begin{eqnarray*} 2\left(x-2\right) \left(x+5\right) \end{eqnarray*}$

2 und -5 sind ja die Nullstellen im Zähler. Wie erkläre ich mir aber das

$\begin{eqnarray*} \left(x-2\right)² \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

2 ist ja keine doppelte Nullstelle. Ich muss aber auf ein Polynom 3.Grades kommen.
Kannst du mir das bitte erklären?

08.11.2009, 21:39

Q-fLaDeN

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Doch, x = 2 ist eine Doppelnullstelle im Zähler:

08.11.2009, 21:46

Berti-82

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Das würde ja bedeuten dass dort ein Extrema liegt aber woher weis ich das bevor ich eine Kurvendiskusion gemacht habe?

08.11.2009, 22:07

Q-fLaDeN

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Die Funktion $\begin{eqnarray*} y=2x^{3}+2x^{2}-32x+40 \end{eqnarray*}$ hat dort ein Extremum, ja, spielt aber doch gar keine Rolle, wir betrachten doch die Funktion

$\begin{eqnarray*} y=\frac{2x^{3}+2x^{2}-32x+40 }{x^{3}+2x^{2}-13x+10 } = \frac{2(x-2)^2(x+5)}{(x-1)(x-2)(x+5)} \end{eqnarray*}$

und da die 2 nicht zum Definitionsbereich gehört, kann man von vorneherein ausschließen, dass dort ein Extremum ist.

08.11.2009, 22:18

Berti-82

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Tut mir leid, ich hab´s immer noch nicht kapiert.
Wenn ich nur das Zählerpolynom betrachte:

$\begin{eqnarray*} 2x^{3} +2x^{2}-32x+40 \end{eqnarray*}$

komme ich auf 2 Nullstellen: 2;-5

Woher weis ich nun dass bei x=2 eine doppelte Nullstelle liegt?

08.11.2009, 22:49

Q-fLaDeN

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Die Funktion

$\begin{eqnarray*} f(x) = 2x^{3} +2x^{2}-32x+40 \end{eqnarray*}$

lässt sich eben eindeutig in ihre Linearfaktoren 2, (x-2), (x-2), und (x+5) zerlegen.

Wenn du mir nicht glauben willst, kannst du ja gerne mal eine Polynomdivison durchführen, also

$\begin{eqnarray*} \frac{2x^{3} +2x^{2}-32x+40}{(x-2)(x+5)} \end{eqnarray*}$

und sehen was rauskommt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wie bist du denn auf deine 2 gefundenen Nullstellen gekommen? Irgendwo musst du was vernachlässigt haben.

08.11.2009, 23:07

Berti-82

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Hast natürlich recht, Schusselfehler... Hammer

Hammer

$\begin{eqnarray*} \left(2x^{3}+2x^{2}-32x+40 \right):\left(x-2\right)=2x^{2}+6x-20 \end{eqnarray*}$

daraus ergeben sich dann die Nullstellen $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ (die zweite Augenzwinkern

Augenzwinkern

) und $\begin{eqnarray*} x=-5 \end{eqnarray*}$

ich denke, ich habs...

Danke für deine Mühe!

08.11.2009, 23:13

Q-fLaDeN

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Bitte bitte Wink

Wink

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