Kongruenz und Modulo Operator

08.11.2009, 17:43

Jono

Kongruenz und Modulo Operator

Hi, ich habe eine Frage:

Die Aufgabe lautet:
Bestimmen Sie alle x, die die Gleichungen erfüllen.

$\begin{eqnarray*} 4+x\equiv 2 \mod 5 \end{eqnarray*}$

Mein Verstand sagt mir, dass x die Restklasse von 3 sein müsste, doch wie lässt sich das algebraisch zeigen?

Freue mich über Hilfe,
viele Grüße,

Jono

08.11.2009, 17:48

tmo

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Die Kongruenz ist offensichtlich äquivalent zu $\begin{eqnarray*} x \equiv 3 \pmod 5 \end{eqnarray*}$ .

08.11.2009, 18:15

Jono

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danke für die Antwort..hab grade gesehen, dass über diese aufgabe schon in einem anderen Thema diskutiert wird

10.11.2009, 19:17

Jono

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ok, jetzt muss ich das Thema doch nochmal aufwälzen:
Ich möchte die Gleichung
$\begin{eqnarray*} 7x + y \equiv 5 \mod 9 \end{eqnarray*}$
lösen

So weit bin ich:

$\begin{eqnarray*} \overline {7x + y}, \overline 5 \in {\bf Z_9} \end{eqnarray*}$ , mit
$\begin{eqnarray*} {\bf Z_9} = \{\overline 0, \overline 1, ... , \overline 9 \} \end{eqnarray*}$

dann
$\begin{eqnarray*} \overline {7x + y} = \overline 5 \end{eqnarray*}$

dann darf man es bei Restklassen ja auseinanderziehen, also:

$\begin{eqnarray*} \overline {7x} + \overline y = \overline 5 \end{eqnarray*}$

und jetzt haben wir den Salat. Eine Gleichung mit 2 Variablen. Wie soll man das lösen?
gibt es überhaupt einen algebraischen Weg? oder muss man es ausprobieren?

Viele Grüße und einen schönen Abend,
Jono

11.11.2009, 17:56

Jono

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hat niemand eine idee?

11.11.2009, 22:50

ricoh

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Das $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ist bei dir nicht ganz korrekt (wahrscheinlich nur ein Schreibfehler):

ich gebe dir hier nochmal die allgemeine Form:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}_{m}=\{\overline{0},\overline{1},\overline{2},\overline{3},\ldots, \overline{m-1}\} \end{eqnarray*}$

Mich würde es auch interessieren wie man das mit zwei Variablen macht.

12.11.2009, 08:59

Jono

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Ups, ja richtig..danke für den Hinweiß. Es dürfte dann natürlich nur bis Restklasse 8 gehen. Wie macht man eigentlich bei Latex die Zahlenmenge der ganzen Zahlen? Bei mir hatte das Z nämlich auch keinen Doppelstrich

Gruß

12.11.2009, 11:52

Iridium

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Zitat:

Original von Jono
Ups, ja richtig..danke für den Hinweiß. Es dürfte dann natürlich nur bis Restklasse 8 gehen. Wie macht man eigentlich bei Latex die Zahlenmenge der ganzen Zahlen? Bei mir hatte das Z nämlich auch keinen Doppelstrich

Gruß

Einfach mal den Mauszeiger über die Gleichung halten :-)

\mathbb{Z} = $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$

12.11.2009, 14:44

Urza

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Zitat:

Original von Jono
$\begin{eqnarray*} \overline {7x} + \overline y = \overline 5 \end{eqnarray*}$

und jetzt haben wir den Salat. Eine Gleichung mit 2 Variablen. Wie soll man das lösen?
gibt es überhaupt einen algebraischen Weg? oder muss man es ausprobieren?

Nun, in diesem Fall ist ja die Gleichung (addieren von $\begin{eqnarray*} 2x \end{eqnarray*}$ ) äquivalent zu $\begin{eqnarray*} y =5+2x \ (\text{mod}\, \text{9}) \end{eqnarray*}$ woraus z.B. folgt, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb{Z}_9 \end{eqnarray*}$ genau eine Lösung $\begin{eqnarray*} y\in\mathbb{Z}_9 \end{eqnarray*}$ gibt, nämlich die die da steht.

15.11.2009, 00:17

Jono

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Sorry, aber irgendwie versteh ich das nicht so recht. Also dass man die 2x dazuaddieren kann seh ich noch ein und auch die Folgerung, dass das für jedes x ein y aus Z9 exisitern muss, aber wie finde ich heraus, welche Restklassen x und y sein müssen?

Man kann es ausprobieren..dann x = 8 und y = 3 heraus, aber das dauert ca. 45 Min. Gibt es keinen algebraischen Weg, der halbwegs nachvollziehbar und verständlich ist?

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