Beschränktheit einer rekursiven Folge

08.11.2009, 21:45

Daniel45b

Beschränktheit einer rekursiven Folge

Hey..
Ich soll zeigen, dass die rekursiv definierte Folge $\begin{eqnarray*} (x_n)_{n \in \mathbb{N}} , x_1=1, x_{n+1}=x_n+\frac{1}{x_n} \end{eqnarray*}$ unbeschränkt ist.

Es gibt ja die Regeln für Grenzwerte von Summen und Produkten von Folgen.

Genügt es bei dieser Aufgabe zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} x_n \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ gegen Unendlich konvergiert, und dass $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x_n} \end{eqnarray*}$ gegen 0 konvergiert, und sich daraus ergibt, dass die Folge unbeschränkt sein muss?
Denn es gibt 6 Punkte auf die Aufgabe, deswegen kommt es mir zu einfach vor...

08.11.2009, 22:00

tmo

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Nein das reicht so noch nicht.

Zeige $\begin{eqnarray*} x_n \leq n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n \geq 1 \end{eqnarray*}$ .

Betrachte dann $\begin{eqnarray*} x_n-x_1=\sum_{k=1}^{n-1}(x_{k+1}-x_k) \end{eqnarray*}$

10.11.2009, 18:29

Daniel234324

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Antwort
Entschuldige, ich wollte mir nicht anmaßen zu widersprechen, aber mein Tutor und meine Arbeitsgruppe haben gemeint, dass dieser Lösungsvorschlag falsch sei. Deswegen bin ich nicht darauf eingegangen (kann mich hier nicht einloggen, sorry).

Die monotonie haben wir ja shcon bewiesen. Aber dass es keinen Grenzwert gibt noch nicht... habe es auch schon über das Cauchy-Kriterium versucht, aber komme da auch nicht weiter irgendwie...

10.11.2009, 18:38

tmo

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RE: Antwort

Zitat:

Original von Daniel234324
Entschuldige, ich wollte mir nicht anmaßen zu widersprechen, aber mein Tutor und meine Arbeitsgruppe haben gemeint, dass dieser Lösungsvorschlag falsch sei. Deswegen bin ich nicht darauf eingegangen (kann mich hier nicht einloggen, sorry).

Du darfst mir ruhig widersprechen, so viel Selbstbewusstsein hab ich dann doch noch, dass ich damit leben kann Augenzwinkern

Ich bin mir ziemlich sicher, dass mein Ansatz zum Ziel führt.

Es ist nämlich $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{n-1} (x_{k+1}-x_k)=\sum_{k=1}^{n-1}\frac{1}{x_k} \end{eqnarray*}$ .

Nun kommt die Abschätzung $\begin{eqnarray*} x_k \leq k \end{eqnarray*}$ und ein wenig Wissen über die harmonische Reihe ins Spiel.

Alternativ kann man z.b. auch direkt $\begin{eqnarray*} x_n \geq \ln n \end{eqnarray*}$ zeigen.

10.11.2009, 19:06

Daniel234324

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Antwort
Sorry, aber irgendwie bringt uns das überhaupt nichts... Wir hatte außerdem noch garnichts über harmonische Reihen, bzw. über Reihen allgemein. Eigentlich nur etwas über Folgen, Grenzwerte, Konvergenz usw...

Die Idee war irgendwie über die Definition der Cauchy-Folge, also irgendwie sagt man es existiert ein Grenzwert a und zeigt dann, dass das Kriterium für Konvergenz nicht erfüllt ist und stößt auf einen Widerspruch. Irgendetwas in der Art: $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}x_{n+1} = a \end{eqnarray*}$ und erhält etwas in der From $\begin{eqnarray*} ... > \epsilon \end{eqnarray*}$

10.11.2009, 19:17

tmo

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Ok, der Beweis, den deine Tutoren sehen wollen, ist wohl der hier:

Angenommen es existiere $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} x_n = a \end{eqnarray*}$

Wegen $\begin{eqnarray*} x_n \geq x_2 = 2 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} a \geq 2 \end{eqnarray*}$ .

Nun gibt es zu $\begin{eqnarray*} \varepsilon:= \frac{1}{2a^2} \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} N \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , sodass für $\begin{eqnarray*} n \geq N \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} a-\frac{1}{2a^2} < x_n < a+\frac{1}{2a^2} \end{eqnarray*}$

Insbesondere gilt also:

$\begin{eqnarray*} a-\frac{1}{2a^2} < x_N < a+\frac{1}{2a^2} \end{eqnarray*}$

Nun zeigst du, dass dann aber schon

$\begin{eqnarray*} a-\frac{1}{2a^2} < x_{N+1} < a+\frac{1}{2a^2} \end{eqnarray*}$

nicht mehr gilt.

Klarer Widerspruch!

Mit anderen Worten: Du zeigst, dass, wenn sich die Folge einem Grenzwert beliebig nähern würde, sie aber mit dem nächsten Folgenglied schon wieder weit weg wäre.

10.11.2009, 19:27

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RE: Antwort

Zitat:

Original von Daniel234324
aber mein Tutor und meine Arbeitsgruppe haben gemeint, dass dieser Lösungsvorschlag falsch sei.

Da kann man nur sagen: Glücklicherweise sind in der Mathematik Mehrheitsentscheidungen völlig irrelevant für die Richtigkeit einer Aussage. Schande über die Tutoren, so einen schönen Beweis als falsch zu bezeichnen. Wenn man etwas nicht begreift, dann gibt man das ehrlich zu, aber man qualifiziert es nicht als falsch ab. Forum Kloppe

10.11.2009, 19:41

Daniel234324

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Antwort
Warum eigentlich ist Epsilon $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2a^2} \end{eqnarray*}$ ? Hat das irgendeinen besonderen Grund?

10.11.2009, 23:17

tmo

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Mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2a} \end{eqnarray*}$ hat es nicht geklappt, da hab ich halt mal $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2a^2} \end{eqnarray*}$ genommen...

23.11.2009, 07:56

silbaerin

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soweit versteh ich eure schritte. jetzt komm ich aber beim letzten nicht weiter. wie zeige ich dass a(N+1) die ungleichung a-1/a^2<a(N+1)<a+1/a^2 nicht mehr erfüllt??

23.11.2009, 09:24

Mystic

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RE: Beschränktheit einer rekursiven Folge
Hm, nicht dass ich an den Lösungsvorschlägen (vor allem dem allerersten!) etwas auszusetzen häte, aber kann man das nicht auch folgendermaßen durch einen indirekten Beweis sehen:

Angenommen die Folge, um die es hier geht, wäre beschränkt... Da sie offensichtlich monoton steigend ist, hätte sie dann auch einen Grenzwert und diesen könnte ich bestimmen, indem ich in der Rekursionsgleichung den Grenzübergang $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ durchführe... Das führt aber auf eine offenbar unerfüllbare Gleichung für den Grenzwert, Widerspruch!

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